ГДЗ 10 Семиклассника Юру попросили определить объём одной монетки и выдали для этого 24 одинаковые монеты и мерный ци...

10

Семиклассника Юру попросили определить объём одной монетки и выдали для этого 24 одинаковые монеты и мерный цилиндр. Для проведения опыта Юра налил в цилиндр воду до уровня $V_0 = 56$ мл, а затем стал кидать туда монетки, отмечая уровень воды и соответствующее количество монеток. Опустив в стакан 5 монеток, Юра заметил, что уровень воды расположился между отметками в 58 и 59 миллилитров; при 9 монетках — между 60 и 61 мл, а при 24 монетках — между 66 и 67 мл. На основании полученных Юрой результатов ответьте на следующие вопросы.

1. По результатам каждого из измерений определите объём монетки и оцените погрешность определения объёма монетки.
2. В каком из трёх экспериментов точность определения объёма монетки будет наибольшей?
3. Пользуясь результатами того из трёх измерений, которое позволяет определить объём монетки с наибольшей точностью, найдите массу одной монетки и оцените её погрешность. Считайте, что плотность монетки равна 6,8 г/см³ точно.

Решение:

1) Определение объёма и погрешности для каждого измерения

Объём $n$ монеток равен разности уровней воды: $\Delta V = V_n - V_0$. Так как уровень воды находится между двумя делениями $a$ и $b$, то суммарный объём монеток лежит в интервале от $(a - V_0)$ до $(b - V_0)$. Среднее значение объёма одной монетки: $v = \frac{(a - V_0) + (b - V_0)}{2n}$. Абсолютная погрешность измерения суммарного объёма равна половине цены деления: $\Delta(\Delta V) = 0,5$ мл. Тогда погрешность определения объёма одной монетки: $\Delta v = \frac{0,5}{n}$ мл.

• Эксперимент 1 ($n_1 = 5$): Суммарный объём: от $58 - 56 = 2$ мл до $59 - 56 = 3$ мл. $v_1 = \frac{2 + 3}{2 \cdot 5} = 0,5$ мл. $\Delta v_1 = \frac{0,5}{5} = 0,1$ мл. Результат: $v_1 = 0,5 \pm 0,1$ мл.

• Эксперимент 2 ($n_2 = 9$): Суммарный объём: от $60 - 56 = 4$ мл до $61 - 56 = 5$ мл. $v_2 = \frac{4 + 5}{2 \cdot 9} = 0,5$ мл. $\Delta v_2 = \frac{0,5}{9} \approx 0,056$ мл. Результат: $v_2 \approx 0,50 \pm 0,06$ мл.

• Эксперимент 3 ($n_3 = 24$): Суммарный объём: от $66 - 56 = 10$ мл до $67 - 56 = 11$ мл. $v_3 = \frac{10 + 11}{2 \cdot 24} = \frac{10,5}{24} = 0,4375$ мл. $\Delta v_3 = \frac{0,5}{24} \approx 0,021$ мл. Результат: $v_3 \approx 0,438 \pm 0,021$ мл.

2) Оценка точности

Точность измерения тем выше, чем меньше абсолютная погрешность. Сравним полученные погрешности: $\Delta v_1 = 0,1$ мл; $\Delta v_2 \approx 0,056$ мл; $\Delta v_3 \approx 0,021$ мл. Наименьшая погрешность (и, следовательно, наибольшая точность) достигается в третьем эксперименте (с 24 монетками), так как фиксированная погрешность прибора распределяется на большее количество предметов.

3) Определение массы монетки и её погрешности

Используем данные третьего эксперимента: $v = 0,4375$ см³ (так как 1 мл = 1 см³), $\Delta v = \frac{0,5}{24}$ см³. Плотность $\rho = 6,8$ г/см³.

Масса одной монетки:

Погрешность определения массы:

Округляя до разумного количества значащих цифр, получим: $m \approx 2,98 \pm 0,14$ г.

Ответ: 1) $0,5 \pm 0,1$ мл; $0,50 \pm 0,06$ мл; $0,438 \pm 0,021$ мл. 2) В третьем. 3) $2,98 \pm 0,14$ г.