ГДЗ Прямоугольный треугольник и его свойства Вариант 1 1) Один из острых углов прямоугольного треугольника в 4 раза б...

Прямоугольный треугольник и его свойства

Вариант 1

1) Один из острых углов прямоугольного треугольника в 4 раза больше другого. Найдите острые углы этого прямоугольного треугольника.

Решение: Пусть один острый угол равен $x$, тогда второй острый угол равен $4x$. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике всегда равна $90^\circ$. Составим уравнение:

Тогда второй угол равен:

Ответ: $18^\circ$ и $72^\circ$.

2) По данным рисунка найдите угол THF.

Решение:

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $TKH$ ($\angle K = 90^\circ$). В нем катет $KH = 29$, а гипотенуза $TH = 58$.
2. Заметим, что $KH = \frac{1}{2} TH$ ($29 = 58 : 2$). По свойству прямоугольного треугольника, если катет в два раза меньше гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен $30^\circ$. Значит, $\angle KTH = 30^\circ$.
3. Тогда второй острый угол треугольника $\angle KHT = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.
4. Угол $\angle THF$ является внешним углом треугольника при вершине $H$ (или смежным с углом $\angle KHT$). Сумма смежных углов равна $180^\circ$:
   $$ \angle THF = 180^\circ - \angle KHT = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ $$

Ответ: $120^\circ$.

3) Биссектрисы прямого и острого углов прямоугольного треугольника при пересечении образуют углы, один из которых равен 132 градуса. Найдите острые углы треугольника.

Решение: Пусть в треугольнике $ABC$ угол $\angle C = 90^\circ$. Проведены биссектрисы $CO$ (прямого угла) и $AO$ (острого угла $\angle A$). Они пересекаются в точке $O$.

1. Биссектриса $CO$ делит прямой угол пополам: $\angle ACO = 90^\circ : 2 = 45^\circ$.
2. Биссектриса $AO$ делит угол $A$ пополам: $\angle OAC = \frac{1}{2} \angle A$.
3. В треугольнике $AOC$ угол при пересечении биссектрис равен:
   $$ \angle AOC = 180^\circ - (45^\circ + \frac{1}{2} \angle A) = 135^\circ - \frac{1}{2} \angle A $$
4. Смежный с ним угол равен:
   $$ 180^\circ - (135^\circ - \frac{1}{2} \angle A) = 45^\circ + \frac{1}{2} \angle A $$
5. По условию один из этих углов равен $132^\circ$.
   • Если $135^\circ - \frac{1}{2} \angle A = 132^\circ$, то $\frac{1}{2} \angle A = 3^\circ$, откуда $\angle A = 6^\circ$.
   • Если $45^\circ + \frac{1}{2} \angle A = 132^\circ$, то $\frac{1}{2} \angle A = 87^\circ$, откуда $\angle A = 174^\circ$, что невозможно для острого угла треугольника.
6. Если один острый угол $\angle A = 6^\circ$, то второй острый угол равен $90^\circ - 6^\circ = 84^\circ$.

Ответ: $6^\circ$ и $84^\circ$.