ГДЗ Б. Во всех задачах этого раздела используются свойства касательных к окружности: 1. Касательная перпендикулярна р...

Б.

Во всех задачах этого раздела используются свойства касательных к окружности:

1. Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.
2. Отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны, а луч, выходящий из этой точки через центр окружности, является биссектрисой угла между касательными.

1. Найти $x = \angle EOF$, если $\angle DFE = 40^\circ$.

   • $OF$ — биссектриса $\angle DFE$, значит $\angle OFE = 40^\circ : 2 = 20^\circ$.
   • В прямоугольном $\triangle OEF$ (так как $OE \perp FE$): $x = 90^\circ - 20^\circ = 70^\circ$. Ответ: $70^\circ$

2. Найти $x = \angle LNK$, если $\angle LPN = 65^\circ$.

   • В прямоугольном $\triangle LPN$ (так как $PL \perp LN$): $\angle LNP = 90^\circ - 65^\circ = 25^\circ$.
   • Так как $PN$ — биссектриса $\angle LNK$, то $x = 2 \cdot 25^\circ = 50^\circ$. Ответ: $50^\circ$

3. Найти $x = \angle TAC$, если $\angle BTC = 40^\circ$.

   • $TA$ — биссектриса $\angle BTC$, значит $\angle ATC = 40^\circ : 2 = 20^\circ$.
   • В прямоугольном $\triangle ATC$ (так как $AC \perp TC$): $x = 90^\circ - 20^\circ = 70^\circ$. Ответ: $70^\circ$

4. Найти $x = \angle ELK$, если $\angle EKF = 40^\circ$.

   • $KL$ — биссектриса $\angle EKF$, значит $\angle EKL = 40^\circ : 2 = 20^\circ$.
   • В прямоугольном $\triangle EKL$ (так как $LE \perp KE$): $x = 90^\circ - 20^\circ = 70^\circ$. Ответ: $70^\circ$

5. Найти $x = \angle PKC$, если $\angle PAC = 70^\circ$.

   • В четырёхугольнике $APKC$ углы $\angle APC = \angle ACK = 90^\circ$.
   • Сумма углов четырёхугольника $360^\circ$, следовательно, $x = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$. Ответ: $110^\circ$

6. Найти $x = \angle SOR$, если $\angle SQR = 50^\circ$.

   • Аналогично предыдущей задаче, в четырёхугольнике $SQRO$ углы при точках касания прямые.
   • $x = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ$. Ответ: $130^\circ$

Задание 71. Найдите $x$, используя данные рисунка.

А.

Во всех задачах используется теорема Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного радиусом (катетом), отрезком касательной (катетом) и расстоянием от центра до точки (гипотенузой).

1. $OB = 4, BA = 3, OA = x$

   $$ x = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 $$

   Ответ: 5

2. $OC = 5, CK = 12, OK = x$

   $$ x = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 $$

   Ответ: 13

3. $DF = 6, DE = 8, FE = x$

   $$ x = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 $$

   Ответ: 10

4. $PM = 9, PK = 15, MK = x$

   $$ x = \sqrt{15^2 - 9^2} = \sqrt{225 - 81} = \sqrt{144} = 12 $$

   Ответ: 12

5. $DS = 24, DL = 26, SL = x$

   $$ x = \sqrt{26^2 - 24^2} = \sqrt{(26-24)(26+24)} = \sqrt{2 \cdot 50} = \sqrt{100} = 10 $$

   Ответ: 10

6. $NM = 1, MT = \sqrt{3}, NT = x$

   $$ x = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2 $$

   Ответ: 2