ГДЗ 6. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображён параллелограмм ABCD. Во сколько раз сторона AD меньше вы...

6. На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображён параллелограмм $ABCD$. Во сколько раз сторона $AD$ меньше высоты параллелограмма, проведённой к этой стороне?

Решение:

1. Найдём длину стороны $AD$. По рисунку видно, что для перехода от точки $A$ к точке $D$ нужно пройти $1$ клетку вправо и $2$ клетки вверх. По теореме Пифагора:

   $$ AD = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} $$

2. Найдём площадь параллелограмма $ABCD$. Площадь параллелограмма, построенного на векторах $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$, равна модулю их косого произведения. Координаты векторов: $\vec{AD} = (1; 2)$ $\vec{AB} = (8; 1)$ (от точки $A$ до точки $B$ — $8$ клеток вправо и $1$ вверх)

   Площадь $S = |x_1 y_2 - x_2 y_1| = |1 \cdot 1 - 2 \cdot 8| = |1 - 16| = |-15| = 15$.

3. Найдём высоту $h_{AD}$, проведённую к стороне $AD$. Площадь параллелограмма также вычисляется по формуле $S = AD \cdot h_{AD}$. Отсюда $h_{AD} = \frac{S}{AD} = \frac{15}{\sqrt{5}}$.

4. Вычислим, во сколько раз сторона $AD$ меньше высоты $h_{AD}$. Для этого найдём отношение высоты к стороне:

   $$ \frac{h_{AD}}{AD} = \frac{15 / \sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{15}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{15}{5} = 3 $$

Ответ: 3