ГДЗ Реши задачу. Один из конусов получен вращением прямоугольного треугольника с катетами 8 и 6 вокруг меньшего катет...

Реши задачу.

Один из конусов получен вращением прямоугольного треугольника с катетами 8 и 6 вокруг меньшего катета, а другой — вокруг большего. Найди отношение площадей полных поверхностей конусов.

Решение:

1. Найдём образующую конусов ($l$): При вращении прямоугольного треугольника вокруг катета образующей конуса становится гипотенуза этого треугольника. По теореме Пифагора:

   $$ l = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 $$

2. Рассмотрим первый конус ($S_1$): Он получен вращением вокруг меньшего катета ($h_1 = 6$). Следовательно, радиус основания этого конуса равен большему катету: $r_1 = 8$. Площадь полной поверхности конуса вычисляется по формуле $S = \pi r (r + l)$:

   $$ S_1 = \pi \cdot 8 \cdot (8 + 10) = \pi \cdot 8 \cdot 18 = 144\pi $$

3. Рассмотрим второй конус ($S_2$): Он получен вращением вокруг большего катета ($h_2 = 8$). Следовательно, радиус основания этого конуса равен меньшему катету: $r_2 = 6$.

   $$ S_2 = \pi \cdot 6 \cdot (6 + 10) = \pi \cdot 6 \cdot 16 = 96\pi $$

4. Найдём отношение площадей:

   $$ \frac{S_1}{S_2} = \frac{144\pi}{96\pi} = \frac{144}{96} $$

   Сократим дробь на 48:

   $$ \frac{144}{96} = \frac{3}{2} = 1,5 $$

Ответ: 1,5