ГДЗ Сечения шара плоскостями α и β имеют одну общую точку A. Известно, что радиус OA образует с плоскостью α угол в 6...

Сечения шара плоскостями $\alpha$ и $\beta$ имеют одну общую точку $A$. Известно, что радиус $OA$ образует с плоскостью $\alpha$ угол в $60^\circ$. Найди площадь поверхности шара, если площадь сечения плоскостью $\alpha$ равна $7\pi$.

Решение:

1. Пусть $R$ — радиус шара с центром в точке $O$. Так как точка $A$ принадлежит сечению шара, она лежит на его поверхности, следовательно, $OA = R$.

2. Пусть $r$ — радиус круга, полученного в сечении шара плоскостью $\alpha$. Площадь этого сечения по условию равна $S_{\alpha} = 7\pi$. По формуле площади круга $S = \pi r^2$, имеем:

   $$ \pi r^2 = 7\pi \implies r^2 = 7 $$

3. Пусть $O_1$ — центр круга в плоскости $\alpha$. Отрезок $OO_1$ перпендикулярен плоскости $\alpha$, а отрезок $O_1 A$ является радиусом сечения, то есть $O_1 A = r$.

4. Угол между прямой $OA$ и плоскостью $\alpha$ — это угол между этой прямой и её проекцией на плоскость. Проекцией точки $O$ является $O_1$, а точка $A$ лежит в плоскости, поэтому проекцией $OA$ является $O_1 A$. Значит, $\angle OAO_1 = 60^\circ$.

5. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OO_1 A$ (где $\angle OO_1 A = 90^\circ$):

   $$ O_1 A = OA \cdot \cos(\angle OAO_1) $$
   $$ r = R \cdot \cos 60^\circ = R \cdot \frac{1}{2} $$

   Отсюда выразим радиус шара: $R = 2r$.

6. Найдём квадрат радиуса шара:

   $$ R^2 = (2r)^2 = 4r^2 = 4 \cdot 7 = 28 $$

7. Вычислим площадь поверхности шара по формуле $S_{шара} = 4\pi R^2$:

   $$ S_{шара} = 4\pi \cdot 28 = 112\pi $$

Ответ: $112\pi$.