ГДЗ Реши задачу, используя рисунок Дано: * Расстояние между прямыми AB и OO1 равно 3. * Высота цилиндра h = 15. * Дли...

Реши задачу, используя рисунок

Дано:

• Расстояние между прямыми $AB$ и $OO_1$ равно $3$.
• Высота цилиндра $h = 15$.
• Длина отрезка $AB = 17$.
• $OO_1$ — ось цилиндра.

Найти:

• Радиус основания цилиндра $R$.

Решение:

1. Проведём образующую $AA'$, где точка $A'$ лежит на окружности нижнего основания. Тогда $AA' \perp$ плоскости нижнего основания и $AA' = h = 15$.
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AA'B$ (угол $\angle AA'B = 90^\circ$). По теореме Пифагора найдём длину проекции отрезка $AB$ на плоскость основания — хорду $A'B$:
   $$ A'B = \sqrt{AB^2 - AA'^2} $$
   $$ A'B = \sqrt{17^2 - 15^2} = \sqrt{289 - 225} = \sqrt{64} = 8 $$
3. Расстояние между скрещивающимися прямыми $AB$ и $OO_1$ равно расстоянию от оси $OO_1$ до плоскости $AA'B$, проходящей через прямую $AB$ параллельно оси. В основании цилиндра это расстояние равно перпендикуляру $OM$, опущенному из центра $O$ на хорду $A'B$. По условию $OM = 3$.
4. В равнобедренном треугольнике $\triangle OA'B$ (где $OA' = OB = R$) высота $OM$ является также медианой, поэтому:
   $$ MB = \frac{1}{2} A'B = \frac{8}{2} = 4 $$
5. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OMB$. По теореме Пифагора найдём радиус $R$:
   $$ R = OB = \sqrt{OM^2 + MB^2} $$
   $$ R = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 $$

Ответ: 5