ГДЗ Условие Радиус шара в 4 раза больше радиуса сечения шара плоскостью α . Найди расстояние между точками A и B его...

Условие

Радиус шара в 4 раза больше радиуса сечения шара плоскостью $\alpha$. Найди расстояние между точками $A$ и $B$ его поверхности, если радиус $OB$ шара равен $\frac{5}{\sqrt{6}}$.

Решение

1. Пусть $R$ — радиус шара, а $r$ — радиус сечения плоскостью $\alpha$. По условию:

   $$ R = 4r \implies r = \frac{R}{4} $$

   Нам дано, что радиус шара $R = OB = \frac{5}{\sqrt{6}}$. Тогда:

   $$ r = \frac{5}{4\sqrt{6}} $$

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $OO_1A$, где $O$ — центр шара, $O_1$ — центр сечения, а $A$ — точка на окружности сечения. В этом треугольнике гипотенуза $OA = R$ (радиус шара), катет $O_1A = r$ (радиус сечения). Найдем расстояние $h = OO_1$ от центра шара до плоскости сечения по теореме Пифагора:

   $$ h^2 = R^2 - r^2 $$

3. Судя по чертежу, точки $A$ и $B$ лежат в одной плоскости, проходящей через центр шара $O$ и перпендикулярной плоскости сечения $\alpha$. Введем систему координат в этой плоскости с началом в точке $O$. Тогда координаты точек будут:

• $O(0; 0)$
• $B(R; 0)$ — точка на «экваторе»
• $A(r; h)$ — точка на сечении

4. Найдем расстояние $AB$ по формуле расстояния между двумя точками:

   $$ AB^2 = (R - r)^2 + (0 - h)^2 = (R - r)^2 + h^2 $$

   Подставим выражение для $h^2 = R^2 - r^2$:

   $$ AB^2 = (R - r)^2 + R^2 - r^2 = R^2 - 2Rr + r^2 + R^2 - r^2 = 2R^2 - 2Rr $$
   $$ AB^2 = 2R(R - r) $$

5. Подставим значение $r = \frac{R}{4}$:

   $$ AB^2 = 2R \left( R - \frac{R}{4} \right) = 2R \cdot \frac{3R}{4} = \frac{3R^2}{2} = 1,5 R^2 $$

6. Вычислим итоговое значение, подставив $R = \frac{5}{\sqrt{6}}$:

   $$ AB^2 = 1,5 \cdot \left( \frac{5}{\sqrt{6}} \right)^2 = 1,5 \cdot \frac{25}{6} = \frac{3}{2} \cdot \frac{25}{6} = \frac{25}{4} = 6,25 $$
   $$ AB = \sqrt{6,25} = 2,5 $$

Ответ: 2,5