ГДЗ 18 Условие: В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагональ AC является биссектрисой угла A, величи...

18

Условие: В прямоугольной трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ диагональ $AC$ является биссектрисой угла $A$, величина которого равна $45^\circ$. Найдите длину диагонали $BD$, если меньшее основание трапеции равно $9\sqrt{2}$.

Решение:

1. Рассмотрим углы при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AC$. Углы $\angle BCA$ и $\angle CAD$ являются накрест лежащими, следовательно, $\angle BCA = \angle CAD$.
2. По условию $AC$ — биссектриса угла $A$, значит $\angle BAC = \angle CAD$.
3. Из пунктов 1 и 2 следует, что $\angle BAC = \angle BCA$. Таким образом, треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$, откуда боковая сторона $AB$ равна основанию $BC$:
   $$ AB = BC = 9\sqrt{2} $$
4. Трапеция $ABCD$ — прямоугольная. Так как $\angle A = 45^\circ$, то сторона $AB$ не может быть перпендикулярна основаниям. Значит, перпендикулярной является боковая сторона $CD$, то есть $\angle C = \angle D = 90^\circ$.
5. Проведем высоту $BH$ из вершины $B$ к основанию $AD$. В прямоугольном треугольнике $ABH$ угол $\angle A = 45^\circ$, тогда высота $BH$ вычисляется как:
   $$ BH = AB \cdot \sin 45^\circ = 9\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 9 $$
6. В прямоугольной трапеции высота $BH$ равна боковой стороне $CD$, следовательно, $CD = 9$.
7. Рассмотрим прямоугольный треугольник $BCD$ (где $\angle C = 90^\circ$). По теореме Пифагора найдем диагональ $BD$:
   $$ BD^2 = BC^2 + CD^2 $$
   $$ BD^2 = (9\sqrt{2})^2 + 9^2 $$
   $$ BD^2 = 81 \cdot 2 + 81 = 162 + 81 = 243 $$
   $$ BD = \sqrt{243} = \sqrt{81 \cdot 3} = 9\sqrt{3} $$

Ответ: $9\sqrt{3}$