ГДЗ Самостоятельная домашняя работа. 1. Радиус окружности с центром в точке O равен 7 см, угол BAO равен 60° . Найдит...

Самостоятельная домашняя работа.

1. Радиус окружности с центром в точке $O$ равен 7 см, угол $BAO$ равен $60^\circ$. Найдите хорду $AB$.

Решение:

1. Рассмотрим треугольник $OAB$. Отрезки $OA$ и $OB$ являются радиусами окружности, следовательно, $OA = OB = 7$ см.
2. Так как $OA = OB$, треугольник $OAB$ — равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $\angle OBA = \angle BAO = 60^\circ$.
3. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$. Найдем третий угол:
   $$ \angle AOB = 180^\circ - (\angle BAO + \angle OBA) = 180^\circ - (60^\circ + 60^\circ) = 60^\circ $$
4. Так как все углы треугольника $OAB$ равны $60^\circ$, он является равносторонним. Значит, все его стороны равны: $AB = OA = OB = 7$ см.

Ответ: 7 см.

2. Дана окружность с центром в точке $O$, медиана $OC$ треугольника $ABC$ равна 8 см, найдите диаметр окружности.

Решение:

1. По условию $OC$ — медиана треугольника $ABC$, значит, точка $O$ является серединой стороны $AB$.
2. Если треугольник $ABC$ вписан в окружность с центром $O$, то точки $A, B, C$ лежат на окружности. Так как $O$ — середина $AB$ и центр окружности, то отрезок $AB$ является диаметром.
3. Отрезок $OC$ соединяет центр окружности $O$ с точкой $C$ на окружности, следовательно, $OC$ — радиус окружности.
4. Радиус $R = OC = 8$ см. Диаметр окружности равен двум радиусам:
   $$ D = 2 \cdot R = 2 \cdot 8 = 16 \text{ см} $$

Ответ: 16 см.

№3

Из точки $A$ проведены две касательные к окружности с центром в точке $O$. Найдите радиус окружности, если угол между касательными равен $60^\circ$, а расстояние от точки $A$ до точки $O$ равно 8.

Решение:

1. Пусть $B$ — одна из точек касания. Проведем радиус $OB$. По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной ($OB \perp AB$), значит, треугольник $OBA$ — прямоугольный ($\angle OBA = 90^\circ$).
2. Отрезок $AO$, соединяющий центр окружности с точкой, из которой проведены касательные, является биссектрисой угла между касательными. Тогда:
   $$ \angle OAB = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ $$
3. В прямоугольном треугольнике $OBA$ катет $OB$ (радиус) лежит против угла в $30^\circ$. По свойству прямоугольного треугольника, такой катет равен половине гипотенузы $AO$:
   $$ OB = \frac{1}{2} \cdot AO = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4 $$

Ответ: 4.