ГДЗ 3. Найдите угол B, если AB = BC, AK = AC. Общие условия: 1. В треугольнике ABC стороны AB = BC, значит, он равноб...

3. Найдите угол $B$, если $AB = BC, AK = AC$.

Общие условия:

1. В треугольнике $ABC$ стороны $AB = BC$, значит, он равнобедренный с основанием $AC$. Следовательно, углы при основании равны: $\angle BAC = \angle BCA$.
2. В треугольнике $AKC$ стороны $AK = AC$, значит, он равнобедренный с основанием $KC$. Следовательно, углы при основании равны: $\angle AKC = \angle ACK$.
3. Точка $K$ лежит на стороне $BC$, поэтому $\angle ACK$ — это тот же угол, что и $\angle BCA$.

а) Дано: $\angle AKC = 67^\circ$

Решение:

1. Так как $\triangle AKC$ равнобедренный ($AK = AC$), то $\angle ACK = \angle AKC = 67^\circ$.
2. Угол $C$ в треугольнике $ABC$ равен $67^\circ$ (так как $\angle BCA = \angle ACK$).
3. Так как $\triangle ABC$ равнобедренный ($AB = BC$), то $\angle BAC = \angle BCA = 67^\circ$.
4. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Найдем искомый угол $B$:
   $$ \angle B = 180^\circ - (\angle BAC + \angle BCA) = 180^\circ - (67^\circ + 67^\circ) = 180^\circ - 134^\circ = 46^\circ $$

Ответ: $46^\circ$

б) Дано: $\angle AKB = 110^\circ$

Решение:

1. Углы $\angle AKB$ и $\angle AKC$ являются смежными, так как точка $K$ лежит на отрезке $BC$. Их сумма равна $180^\circ$:
   $$ \angle AKC = 180^\circ - \angle AKB = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ $$
2. Так как $\triangle AKC$ равнобедренный ($AK = AC$), то углы при его основании $KC$ равны: $\angle ACK = \angle AKC = 70^\circ$.
3. Угол $C$ в треугольнике $ABC$ равен $70^\circ$ (так как $\angle BCA = \angle ACK$).
4. Так как $\triangle ABC$ равнобедренный ($AB = BC$), то $\angle BAC = \angle BCA = 70^\circ$.
5. Найдем угол $B$ через сумму углов треугольника:
   $$ \angle B = 180^\circ - (\angle BAC + \angle BCA) = 180^\circ - (70^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ $$

Ответ: $40^\circ$