ГДЗ 16 Условие: В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC угол B равен 120° . Высота треугольника, проведённа...

16

Условие: В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ угол $B$ равен $120^\circ$. Высота треугольника, проведённая из вершины $C$, равна 12. Найдите длину стороны $AC$.

Решение:

1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Так как $AC$ — основание, то:

   $$ \angle BAC = \angle BCA = \frac{180^\circ - \angle B}{2} = \frac{180^\circ - 120^\circ}{2} = 30^\circ $$

2. Пусть $CH$ — высота, проведённая из вершины $C$ к прямой, содержащей сторону $AB$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHC$ (где $\angle AHC = 90^\circ$):

   • Сторона $AC$ является гипотенузой этого треугольника.
   • Сторона $CH$ является катетом, лежащим против угла $A$.

3. По свойству прямоугольного треугольника, катет, лежащий против угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы:

   $$ CH = \frac{1}{2} AC $$

4. Подставим известное значение высоты ($CH = 12$):

   $$ 12 = \frac{1}{2} AC \implies AC = 12 \cdot 2 = 24 $$

Ответ: 24