ГДЗ Задумали трёхзначное число, которое делится на 16 и последняя цифра которого в 2 раза меньше первой. Из него вычл...

Задумали трёхзначное число, которое делится на 16 и последняя цифра которого в 2 раза меньше первой. Из него вычли трёхзначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Полученная разность оказалась меньше 200. Какое число было задумано?

Решение:

1. Пусть задуманное число — $\overline{abc} = 100a + 10b + c$, где $a, b, c$ — цифры, причём $a \neq 0$.
2. По условию последняя цифра в 2 раза меньше первой: $a = 2c$. Так как $a$ — первая цифра трёхзначного числа, она может быть от 1 до 9. Поскольку $a = 2c$, то $a$ должно быть чётным, а $c$ не может быть нулём (иначе $a=0$). Возможные пары $(a, c)$: (2, 1), (4, 2), (6, 3), (8, 4).
3. Число, записанное в обратном порядке: $\overline{cba} = 100c + 10b + a$.
4. Найдём разность этих чисел:
   $$ (100a + 10b + c) - (100c + 10b + a) = 99a - 99c = 99(a - c) $$
   Подставим условие $a = 2c$:
   $$ 99(2c - c) = 99c $$
5. По условию разность меньше 200:
   $$ 99c < 200 $$
   Это неравенство верно только при $c = 1$ или $c = 2$.
   • Если $c = 1$, то $a = 2 \cdot 1 = 2$.
   • Если $c = 2$, то $a = 2 \cdot 2 = 4$.
6. Проверим условие делимости задуманного числа на 16 для каждого случая:
   • Случай 1: $a = 2, c = 1$. Число имеет вид $2b1$. Любое число, делящееся на 16, должно быть чётным. Число $2b1$ оканчивается на 1, оно нечётное. Этот случай не подходит.
   • Случай 2: $a = 4, c = 2$. Число имеет вид $4b2$. Проверим значения $b$ от 0 до 9:
     • $b=0: 402$ (не делится на 16)
     • $b=1: 412$ (не делится на 16)
     • $b=2: 422$ (не делится на 16)
     • $b=3: 432$. Проверяем: $432 : 16 = 27$. Подходит.
     • Остальные числа ($442, 452, \dots, 492$) не будут делиться на 16, так как разница между ними и 432 кратна 10, но не кратна 16.

Проверка:

• Число 432 делится на 16 ($432 = 16 \cdot 27$).
• Последняя цифра (2) в 2 раза меньше первой (4).
• Разность с обратным числом: $432 - 234 = 198$.
• $198 < 200$. Все условия соблюдены.

Ответ: 432.