ГДЗ 1) Хорды AB и CD окружности с центром в т. O равны. Док-те, что ∠ AOB = ∠ COD Дано: Окружность с центром O; AB, C...
1) Хорды $AB$ и $CD$ окружности с центром в т. $O$ равны. Док-те, что $\angle AOB = \angle COD$
Дано: Окружность с центром $O$; $AB, CD$ — хорды; $AB = CD$.
Доказать: $\angle AOB = \angle COD$.
Доказательство:
- Рассмотрим треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle COD$.
- В этих треугольниках:
- $OA = OB = OC = OD$ как радиусы одной и той же окружности;
- $AB = CD$ по условию задачи.
- Следовательно, $\triangle AOB = \triangle COD$ по третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам).
- В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы. Так как $AB = CD$, то лежащие против них углы равны: $\angle AOB = \angle COD$.
Что и требовалось доказать.
2) Отрезки $AB$ и $CD$ — диаметры окружности. Док-ть, что $\angle BAC = \angle CDB$
Дано: Окружность с центром $O$; $AB, CD$ — диаметры.
Доказать: $\angle BAC = \angle CDB$.
Доказательство:
- Пусть $O$ — центр окружности. Так как $AB$ и $CD$ — диаметры, они пересекаются в точке $O$ и делятся ею пополам ($OA = OB = OC = OD = R$).
- Рассмотрим треугольники $\triangle AOC$ и $\triangle DOB$:
- $OA = OD$ (как радиусы);
- $OC = OB$ (как радиусы);
- $\angle AOC = \angle DOB$ как вертикальные углы.
- Следовательно, $\triangle AOC = \triangle DOB$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
- Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: $\angle OAC = \angle ODB$.
- Так как точки $A, O, B$ лежат на одной прямой, то $\angle OAC$ — это тот же угол, что и $\angle BAC$. Аналогично, $\angle ODB$ — это тот же угол, что и $\angle CDB$.
- Таким образом, $\angle BAC = \angle CDB$.
Примечание: Также это можно доказать через свойство вписанных углов. Углы $\angle BAC$ и $\angle CDB$ являются вписанными и опираются на одну и ту же дугу $BC$, следовательно, они равны.
Что и требовалось доказать.