ГДЗ 15. Из пункта A в пункт B, расстояние между которыми равно 135 км, вышел катер. Дойдя до пункта B, он вернулся в...
15. Из пункта $A$ в пункт $B$, расстояние между которыми равно 135 км, вышел катер. Дойдя до пункта $B$, он вернулся в пункт отправления, затратив на обратный путь на 6 часов больше. Найди собственную скорость катера, если скорость течения реки равна 3 км/ч. Ответ дай в км/ч.
Решение:
Пусть $x$ км/ч — собственная скорость катера. По условию задачи скорость течения реки равна 3 км/ч.
- Так как на обратный путь катер затратил больше времени, значит, из пункта $A$ в пункт $B$ он шёл по течению, а обратно — против течения.
- Скорость катера по течению: $(x + 3)$ км/ч.
- Скорость катера против течения: $(x - 3)$ км/ч.
- Время, затраченное на путь из $A$ в $B$: $t_1 = \frac{135}{x + 3}$ ч.
- Время, затраченное на обратный путь: $t_2 = \frac{135}{x - 3}$ ч.
По условию разница во времени составляет 6 часов ($t_2 - t_1 = 6$). Составим и решим уравнение:
$$
\frac{135}{x - 3} - \frac{135}{x + 3} = 6
$$
Разделим обе части уравнения на 3 для упрощения расчётов:
$$
\frac{45}{x - 3} - \frac{45}{x + 3} = 2
$$
Приведём дроби к общему знаменателю:
$$
\frac{45(x + 3) - 45(x - 3)}{(x - 3)(x + 3)} = 2
$$
$$
\frac{45x + 135 - 45x + 135}{x^2 - 9} = 2
$$
$$
\frac{270}{x^2 - 9} = 2
$$
Умножим обе части на $(x^2 - 9)$, учитывая, что $x > 3$:
$$
270 = 2(x^2 - 9)
$$
$$
135 = x^2 - 9
$$
$$
x^2 = 144
$$
$$
x = 12
$$
Отрицательный корень $x = -12$ не подходит по смыслу задачи, так как скорость должна быть положительной.
Ответ: 12