ГДЗ Сечения шара плоскостями Сечения шара плоскостями α и β имеют одну общую точку A. Известно, что радиус OA образуе...

Сечения шара плоскостями

Сечения шара плоскостями $\alpha$ и $\beta$ имеют одну общую точку $A$. Известно, что радиус $OA$ образует с плоскостью $\alpha$ угол в $60^\circ$. Найди площадь поверхности шара, если площадь сечения плоскостью $\alpha$ равна $7\pi$.

Дано:

• Шар с центром $O$ и радиусом $R = OA$.
• Сечение плоскостью $\alpha$ — круг с центром $O_1$ и радиусом $r$.
• Угол между радиусом $OA$ и плоскостью $\alpha$ равен $60^\circ$.
• Площадь сечения $S_{\alpha} = 7\pi$.

Найти:

• Площадь поверхности шара $S_{шара}$.

Решение:

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OO_1A$, где $O_1$ — центр круга, полученного в сечении плоскостью $\alpha$. Отрезок $OO_1$ перпендикулярен плоскости $\alpha$, поэтому $\angle OO_1A = 90^\circ$.
2. Угол между прямой $OA$ и плоскостью $\alpha$ — это угол между этой прямой и её проекцией на плоскость. Проекцией точки $O$ является $O_1$, а точка $A$ лежит в плоскости $\alpha$. Следовательно, проекцией $OA$ является отрезок $O_1A$, и $\angle OAO_1 = 60^\circ$.
3. В $\triangle OO_1A$ катет $O_1A$ является радиусом сечения $r$, а гипотенуза $OA$ — радиусом шара $R$. Из определения косинуса:
   $$ r = O_1A = OA \cdot \cos(60^\circ) = R \cdot \frac{1}{2} $$
4. Площадь сечения вычисляется по формуле $S_{\alpha} = \pi r^2$. Подставим известные значения:
   $$ 7\pi = \pi \cdot \left(\frac{R}{2}\right)^2 $$
   $$ 7 = \frac{R^2}{4} \implies R^2 = 28 $$
5. Площадь поверхности шара вычисляется по формуле $S_{шара} = 4\pi R^2$. Подставим найденное значение $R^2$:
   $$ S_{шара} = 4\pi \cdot 28 = 112\pi $$

Ответ: $112\pi$.