ГДЗ 5. AB = BC, AK — биссектриса треугольника ABC. Найдите угол KAH. Во всех пунктах треугольник ABC является равнобе...

5. $AB = BC$, $AK$ — биссектриса треугольника $ABC$. Найдите угол $KAH$.

Во всех пунктах треугольник $ABC$ является равнобедренным ($AB = BC$), следовательно, углы при основании равны: $\angle A = \angle C$. Отрезок $AH$ является высотой к прямой $BC$ (на рисунках отмечен прямой угол).

а)

Дано: $\angle B = 52^\circ$.

1. Найдём углы при основании:
   $$ \angle A = \angle C = \frac{180^\circ - \angle B}{2} = \frac{180^\circ - 52^\circ}{2} = \frac{128^\circ}{2} = 64^\circ $$
2. Так как $AK$ — биссектриса $\angle A$, то:
   $$ \angle KAC = \frac{\angle A}{2} = \frac{64^\circ}{2} = 32^\circ $$
3. В прямоугольном треугольнике $AHC$ ($\angle H = 90^\circ$):
   $$ \angle HAC = 90^\circ - \angle C = 90^\circ - 64^\circ = 26^\circ $$
4. Из рисунка видно, что $\angle KAH = \angle KAC - \angle HAC$:
   $$ \angle KAH = 32^\circ - 26^\circ = 6^\circ $$
   Ответ: $6^\circ$

б)

Дано: $\angle C = 56^\circ$.

1. Углы при основании равны: $\angle A = \angle C = 56^\circ$.
2. Так как $AK$ — биссектриса $\angle A$, то:
   $$ \angle KAC = \frac{\angle A}{2} = \frac{56^\circ}{2} = 28^\circ $$
3. В прямоугольном треугольнике $AHC$ ($\angle H = 90^\circ$):
   $$ \angle HAC = 90^\circ - \angle C = 90^\circ - 56^\circ = 34^\circ $$
4. Из рисунка видно, что $\angle KAH = \angle HAC - \angle KAC$:
   $$ \angle KAH = 34^\circ - 28^\circ = 6^\circ $$
   Ответ: $6^\circ$

в)

Дано: $\angle C = 37^\circ$.

1. Углы при основании равны: $\angle A = \angle C = 37^\circ$.
2. Так как $AK$ — биссектриса $\angle A$, то:
   $$ \angle KAC = \frac{\angle A}{2} = \frac{37^\circ}{2} = 18,5^\circ $$
3. В прямоугольном треугольнике $AHC$ ($\angle H = 90^\circ$):
   $$ \angle HAC = 90^\circ - \angle C = 90^\circ - 37^\circ = 53^\circ $$
4. Из рисунка видно, что $\angle KAH = \angle HAC - \angle KAC$:
   $$ \angle KAH = 53^\circ - 18,5^\circ = 34,5^\circ $$
   Ответ: $34,5^\circ$