ГДЗ 18. В параллелограмме ABCD диагональ AC в два раза больше стороны AB и ∠ ACD = 112° . Найди острый угол между диа...

18. В параллелограмме $ABCD$ диагональ $AC$ в два раза больше стороны $AB$ и $\angle ACD = 112^\circ$. Найди острый угол между диагоналями параллелограмма.

Дано:

• $ABCD$ — параллелограмм;
• $AC = 2 \cdot AB$;
• $\angle ACD = 112^\circ$;
• $O$ — точка пересечения диагоналей.

Найти: острый угол между диагоналями ($\angle COD$ или $\angle AOD$).

Решение:

1. По свойству параллелограмма диагонали точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, точка $O$ делит диагональ $AC$ на две равные части:

   $$ AO = OC = \frac{1}{2} AC $$

2. По условию $AC = 2 \cdot AB$, значит:

   $$ AB = \frac{1}{2} AC $$

   Отсюда следует, что $OC = AB$.

3. В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому $CD = AB$. Так как $OC = AB$ и $CD = AB$, то:

   $$ OC = CD $$

4. Рассмотрим треугольник $\triangle OCD$. Поскольку две его стороны равны ($OC = CD$), он является равнобедренным с основанием $OD$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны:

   $$ \angle COD = \angle CDO $$

5. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Зная угол при вершине $\angle OCD = 112^\circ$, найдем угол при основании:

   $$ \angle COD = \frac{180^\circ - \angle OCD}{2} $$
   $$ \angle COD = \frac{180^\circ - 112^\circ}{2} = \frac{68^\circ}{2} = 34^\circ $$

6. Угол $34^\circ$ является острым, следовательно, это и есть искомый угол между диагоналями.

Ответ: 34