ГДЗ В треугольнике ABC проведены медиана BM и высота BH. Известно, что AH = 54, BC = BM. Найдите длину стороны AC. Ре...

В треугольнике $ABC$ проведены медиана $BM$ и высота $BH$. Известно, что $AH = 54$, $BC = BM$. Найдите длину стороны $AC$.

Решение:

1. Рассмотрим треугольники $BHM$ и $BHC$.

   • Так как $BH$ — высота, то $\angle BHM = \angle BHC = 90^\circ$, следовательно, эти треугольники прямоугольные.
   • По условию $BM = BC$ (гипотенузы равны).
   • Катет $BH$ является общим для обоих треугольников.
   • Значит, $\triangle BHM = \triangle BHC$ по катету и гипотенузе.

2. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: $HM = HC$.

3. Так как $BM$ — медиана треугольника $ABC$, то точка $M$ является серединой стороны $AC$. Это значит, что $AM = MC$.

4. Пусть длина стороны $AC$ равна $x$. Тогда:

   $$ AM = MC = \frac{x}{2} $$

   Так как $H$ — середина отрезка $MC$ (из пункта 2), то:

   $$ MH = HC = \frac{1}{2} MC = \frac{1}{2} \cdot \frac{x}{2} = \frac{x}{4} $$

5. Отрезок $AH$ можно представить как сумму отрезков $AM$ и $MH$:

   $$ AH = AM + MH = \frac{x}{2} + \frac{x}{4} = \frac{3x}{4} $$

6. По условию $AH = 54$. Составим и решим уравнение:

   $$ \frac{3x}{4} = 54 $$
   $$ 3x = 54 \cdot 4 $$
   $$ 3x = 216 $$
   $$ x = 72 $$

Следовательно, длина стороны $AC$ равна 72.

Ответ: 72