ГДЗ Расстояние между прямыми AB и OO1 равно 3. Найди радиус R основания цилиндра, если его высота равна 15, а длина о...
Расстояние между прямыми $AB$ и $OO_1$ равно $3$. Найди радиус $R$ основания цилиндра, если его высота равна $15$, а длина отрезка $AB$ равна $17$.
Решение:
-
Пусть $O$ и $O_1$ — центры нижнего и верхнего оснований цилиндра соответственно. Проведём образующую $AA'$, где точка $A'$ лежит на окружности нижнего основания. Тогда $AA'$ перпендикулярна плоскости основания, и $AA' = h = 15$.
-
Рассмотрим прямоугольный треугольник $AA'B$ (угол $A' = 90^\circ$). По теореме Пифагора найдём длину проекции $A'B$ отрезка $AB$ на плоскость основания:
$$ A'B = \sqrt{AB^2 - AA'^2} = \sqrt{17^2 - 15^2} = \sqrt{289 - 225} = \sqrt{64} = 8 $$ -
Прямая $OO_1$ параллельна прямой $AA'$, следовательно, она параллельна плоскости $(AA'B)$. Расстояние между скрещивающимися прямыми $AB$ и $OO_1$ равно расстоянию от прямой $OO_1$ до плоскости $(AA'B)$, что соответствует расстоянию от центра основания $O$ до хорды $A'B$. Обозначим это расстояние как $OH = 3$, где $H$ — середина хорды $A'B$.
-
В нижнем основании рассмотрим треугольник $OHB$. Так как $OH \perp A'B$, треугольник $OHB$ — прямоугольный. Отрезок $HB$ равен половине хорды $A'B$:
$$ HB = \frac{A'B}{2} = \frac{8}{2} = 4 $$ -
По теореме Пифагора для треугольника $OHB$ найдём радиус основания $R = OB$:
$$ R = \sqrt{OH^2 + HB^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 $$
Ответ: 5