ГДЗ 11 Из декоративной проволоки нужно спаять плоское украшение в виде штурвала заданных размеров (см. рисунок), затр...
11
Из декоративной проволоки нужно спаять плоское украшение в виде штурвала заданных размеров (см. рисунок), затратив наименьшее возможное количество проволоки. Проволоку можно гнуть под любым углом и спаивать в точках соединения. Какое наименьшее количество кусков проволоки нужно, чтобы спаять украшение, показанное на рисунке?
Решение:
Для решения этой задачи воспользуемся теорией графов. Чтобы минимизировать количество кусков проволоки и при этом затратить её наименьшее количество (то есть пройти по каждой линии рисунка ровно один раз без наложений и двойных слоёв), нужно определить количество вершин с нечётной степенью — точек, в которых сходится нечётное количество линий.
-
Анализ точек соединения (вершин графа):
- Центр штурвала: Здесь сходятся 8 лучей-спиц. Степень вершины равна 8 (чётное число).
- Пересечения с малой окружностью: В каждой из 8 точек пересекаются линия окружности (2 направления) и линия спицы (2 направления). Степень каждой такой вершины равна 4 (чётное число).
- Пересечения с большой окружностью: В каждой из 8 точек сходятся:
- 2 линии большой окружности (влево и вправо по дуге);
- 1 линия спицы (приходящая изнутри);
- 2 линии петли-рукоятки (так как рукоятка представляет собой замкнутую петлю, выходящую из этой точки и возвращающуюся в неё).
- Итого: $2 + 1 + 2 = 5$ линий. Степень каждой из этих 8 вершин равна 5 (нечётное число).
-
Расчёт минимального количества кусков: По правилу теории графов, минимальное количество непрерывных линий, которыми можно «нарисовать» фигуру без повторных проходов по рёбрам, равно половине количества вершин с нечётной степенью.
$$ N = \frac{\text{Количество нечётных вершин}}{2} $$В данном случае у нас 8 нечётных вершин (точки на внешней окружности).
$$ N = \frac{8}{2} = 4 $$
Это означает, что штурвал можно собрать из 4 цельных кусков проволоки, спаяв их в узлах, при этом нигде не придётся прокладывать проволоку в два слоя.
Ответ: 4