ГДЗ №3 Стороны AC и BC треугольника ABC равны. Луч CM является биссектрисой внешнего угла BCD, угол MCD равен 50° . Н...

№3

Стороны $AC$ и $BC$ треугольника $ABC$ равны. Луч $CM$ является биссектрисой внешнего угла $BCD$, угол $MCD$ равен $50^\circ$. Найдите угол $BAC$. Ответ дайте в градусах.

Дано:

• $\triangle ABC$, $AC = BC$;
• $\angle BCD$ — внешний угол при вершине $C$;
• $CM$ — биссектриса $\angle BCD$;
• $\angle MCD = 50^\circ$.

Найти: $\angle BAC$.

Решение:

1. Так как луч $CM$ является биссектрисой внешнего угла $BCD$, то $\angle BCM = \angle MCD = 50^\circ$.
2. Весь внешний угол $\angle BCD$ равен сумме этих углов:
   $$ \angle BCD = \angle BCM + \angle MCD = 50^\circ + 50^\circ = 100^\circ $$
3. По свойству внешнего угла треугольника, он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним:
   $$ \angle BCD = \angle BAC + \angle ABC $$
4. В треугольнике $ABC$ стороны $AC$ и $BC$ равны, значит, треугольник равнобедренный. Углы при основании равнобедренного треугольника равны:
   $$ \angle BAC = \angle ABC $$
5. Подставим это равенство в формулу внешнего угла:
   $$ \angle BCD = \angle BAC + \angle BAC = 2 \cdot \angle BAC $$
   $$ 100^\circ = 2 \cdot \angle BAC $$
   $$ \angle BAC = 100^\circ : 2 = 50^\circ $$

Ответ: 50