ГДЗ В треугольнике ABC угол C равен 90° , стороны AC и BC равны. На стороне AB отметили точку P так, что угол ACP рав...

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, стороны $AC$ и $BC$ равны. На стороне $AB$ отметили точку $P$ так, что угол $ACP$ равен $20^\circ$. Найдите градусную меру угла $APC$.

Решение:

1. Анализ треугольника $ABC$: По условию треугольник $ABC$ — прямоугольный ($\\angle C = 90^\circ$) и равнобедренный ($AC = BC$). В равнобедренном прямоугольном треугольнике углы при гипотенузе равны:

   $$ \\angle BAC = \\angle ABC = (180^\circ - 90^\circ) : 2 = 45^\circ $$

2. Анализ треугольника $APC$: Рассмотрим треугольник $APC$, образованный при проведении отрезка $CP$:

   • Угол $\\angle PAC$ — это тот же угол $\\angle BAC$, значит, $\\angle PAC = 45^\circ$.
   • Угол $\\angle ACP = 20^\circ$ по условию задачи.

3. Нахождение искомого угла: Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Для треугольника $APC$ имеем:

   $$ \\angle PAC + \\angle ACP + \\angle APC = 180^\circ $$

   Подставим известные значения:

   $$ 45^\circ + 20^\circ + \\angle APC = 180^\circ $$
   $$ 65^\circ + \\angle APC = 180^\circ $$
   $$ \\angle APC = 180^\circ - 65^\circ = 115^\circ $$

Ответ: $115^\circ$