ГДЗ 5. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием BC проведена медиана AM. Найдите медиану AM, если периметр треу...

5. В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $BC$ проведена медиана $AM$. Найдите медиану $AM$, если периметр треугольника $ABC$ равен 40 см, а периметр треугольника $ABM$ равен 32 см.

Дано:

• $\triangle ABC$ — равнобедренный ($AB = AC$);
• $BC$ — основание;
• $AM$ — медиана ($BM = MC = \frac{1}{2} BC$);
• $P_{ABC} = 40$ см;
• $P_{ABM} = 32$ см.

Найти: $AM$.

Решение:

1. Периметр треугольника $ABC$ вычисляется по формуле:

   $$ P_{ABC} = AB + AC + BC $$

   Так как треугольник равнобедренный ($AB = AC$), формулу можно записать как:

   $$ 2 \cdot AB + BC = 40 $$

   Разделим обе части уравнения на 2:

   $$ AB + \frac{1}{2} BC = 20 \text{ (см)} $$

2. Периметр треугольника $ABM$ вычисляется по формуле:

   $$ P_{ABM} = AB + BM + AM $$

   Так как $AM$ — медиана, то $BM = \frac{1}{2} BC$. Подставим это в формулу:

   $$ AB + \frac{1}{2} BC + AM = 32 $$

3. Мы уже нашли, что сумма $(AB + \frac{1}{2} BC)$ равна 20 см. Подставим это значение в уравнение для периметра $\triangle ABM$:

   $$ 20 + AM = 32 $$
   $$ AM = 32 - 20 $$
   $$ AM = 12 \text{ (см)} $$

Ответ: 12 см.