ГДЗ 11 Опираясь на теорию графов решите задачу. Из медной проволоки нужно спаять плоское украшение заданных размеров...
11
Опираясь на теорию графов решите задачу.
Из медной проволоки нужно спаять плоское украшение заданных размеров (см. рисунок), затратив наименьшее возможное количество проволоки. Проволоку можно гнуть под любым углом и спаивать в точках соединения. Какое наименьшее количество кусков проволоки потребуется?
Решение:
Для решения задачи воспользуемся теорией графов. Фигура представляет собой связный граф, где точки соединения (узлы) — это вершины, а линии и дуги — рёбра.
-
Условие минимального количества кусков: Согласно теории графов, минимальное количество непрерывных путей (кусков проволоки), необходимых для того, чтобы «нарисовать» (спаять) граф, зависит от количества его нечётных вершин (вершин, в которых сходится нечётное количество линий).
- Если в графе все вершины чётные, достаточно 1 куска (эйлеров цикл).
- Если в графе ровно 2 нечётные вершины, достаточно 1 куска (эйлеров путь).
- Если в графе $k$ нечётных вершин (где $k > 2$), то минимальное количество кусков равно $k / 2$.
-
Анализ вершин и их степеней: Рассмотрим точки, отмеченные на рисунке:
- Кончики ушей (2 точки): В каждой сходится по 2 линии (стороны треугольника). Степень вершины — 2 (чётная).
- Основания ушей (4 точки): Чтобы затратить наименьшее количество проволоки, мы не будем дублировать линии. Прямое основание уха (хорда) короче дуги окружности, поэтому используем только его. В каждой такой точке сходятся: 1 сторона уха, 1 основание уха и 1 дуга головы. Итого 3 линии. Степень вершины — 3 (нечётная).
- Точки шеи (2 точки): Здесь сходятся дуга головы, прямая линия шеи и дуга туловища. Итого 3 линии. Степень вершины — 3 (нечётная).
- Точка крепления хвоста (1 точка): Здесь сходятся 2 части дуги туловища и 2 линии петли хвоста. Итого 4 линии. Степень вершины — 4 (чётная).
-
Подсчёт: Количество нечётных вершин $k = 4 \text{ (у основания ушей)} + 2 \text{ (на шее)} = 6$. Минимальное количество кусков проволоки: $6 / 2 = 3$.
Ответ: 3