ГДЗ 1. 1) Условие: На серединном перпендикуляре отрезка AB взята точка M. Периметр треугольника AMB равен 42 см. Найд...

1.

1. Условие: На серединном перпендикуляре отрезка $AB$ взята точка $M$. Периметр треугольника $AMB$ равен 42 см. Найдите длину отрезка $AB$, если $AM$ в 3 раза больше $AB$.

Решение:

1. По свойству серединного перпендикуляра, любая его точка равноудалена от концов отрезка. Значит, $AM = MB$.
2. Периметр треугольника $AMB$ равен сумме длин его сторон:
   $$ P = AM + MB + AB $$
   Так как $AM = MB$, формулу можно записать как:
   $$ P = 2 \cdot AM + AB $$
3. По условию задачи $AM = 3 \cdot AB$. Подставим это значение в уравнение периметра:
   $$ 2 \cdot (3 \cdot AB) + AB = 42 $$
   $$ 6 \cdot AB + AB = 42 $$
   $$ 7 \cdot AB = 42 $$
   $$ AB = 42 : 7 $$
   $$ AB = 6 \text{ см} $$

Ответ: 6 см.

2. Условие: Постройте точку на катете прямоугольного треугольника, равноудаленную от гипотенузы и другого катета.

Решение: Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Нам нужно найти точку $X$ на катете $AC$, которая находится на одинаковом расстоянии от гипотенузы $AB$ и катета $BC$.

1. Геометрическим местом точек, равноудаленных от двух пересекающихся прямых, является биссектриса угла между этими прямыми.
2. В данном случае прямые — это гипотенуза $AB$ и катет $BC$. Они пересекаются в вершине $B$. Следовательно, искомая точка должна лежать на биссектрисе угла $B$.
3. Так как по условию точка должна находиться на катете $AC$, то искомая точка — это точка пересечения биссектрисы угла $B$ с катетом $AC$.

Алгоритм построения:

1. С помощью циркуля и линейки постройте биссектрису угла $B$ (угла между гипотенузой и тем катетом, на котором НЕ должна лежать точка).
2. Отметьте точку пересечения этой биссектрисы с катетом $AC$.
3. Эта точка будет равноудалена от сторон угла $B$ по свойству биссектрисы.

Ответ: искомая точка — точка пересечения биссектрисы угла, образованного гипотенузой и вторым катетом, с данным катетом.