ГДЗ 16 Основанием прямой призмы ABCA1B_1C1 является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом A и катетами AC = 8...

16

Основанием прямой призмы $ABCA_1B_1C_1$ является прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $A$ и катетами $AC = 8$ и $AB = 15$. Найдите угол между плоскостями $ABC$ и $A_1BC$, если $AA_1 = 30$.

Решение:

1. Построение линейного угла:

   • Плоскости $(ABC)$ и $(A_1BC)$ пересекаются по прямой $BC$.
   • Проведём в плоскости основания высоту $AH$ треугольника $ABC$ к гипотенузе $BC$ ($AH \perp BC$).
   • Так как призма прямая, боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания ($AA_1 \perp ABC$).
   • По теореме о трёх перпендикулярах: так как $AA_1 \perp (ABC)$ и $AH \perp BC$, то наклонная $A_1H$ также перпендикулярна ребру $BC$ ($A_1H \perp BC$).
   • Следовательно, угол $\angle A_1HA$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $ABC$ и $A_1BC$. Обозначим его $\alpha$.

2. Вычисление элементов основания:

   • В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\angle A = 90^\circ$) найдём гипотенузу $BC$ по теореме Пифагора:
     $$ BC = \sqrt{AC^2 + AB^2} = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17 $$
   • Высоту $AH$ найдём через площадь треугольника $ABC$:
     $$ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 15 = 60 $$
     С другой стороны, $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH$, откуда:
     $$ AH = \frac{2 \cdot S_{ABC}}{BC} = \frac{2 \cdot 60}{17} = \frac{120}{17} $$

3. Нахождение угла:

   • Рассмотрим прямоугольный треугольник $A_1AH$ (угол $\angle A = 90^\circ$, так как $AA_1$ — высота призмы).
   • Тангенс искомого угла $\alpha$ равен отношению противолежащего катета $AA_1$ к прилежащему $AH$:
     $$ \tan \alpha = \frac{AA_1}{AH} = \frac{30}{\frac{120}{17}} = \frac{30 \cdot 17}{120} = \frac{17}{4} = 4,25 $$
   • Следовательно, $\alpha = \arctan 4,25$.

Ответ: $\arctan 4,25$