ГДЗ 1. Треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке O. Точки O и C лежат в одной полуплоскости относительно...
1.
Треугольник $ABC$ вписан в окружность с центром в точке $O$. Точки $O$ и $C$ лежат в одной полуплоскости относительно прямой $AB$. Найдите угол $ACB$, если угол $AOB$ равен $115^\circ$. Ответ дайте в градусах.
Решение:
- По условию точки $O$ и $C$ лежат по одну сторону от прямой $AB$. Это означает, что вписанный угол $ACB$ и центральный угол $AOB$ опираются на одну и ту же (меньшую) дугу $AB$.
- По теореме о вписанном угле, величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу:
$$ \angle ACB = \frac{1}{2} \angle AOB $$
- Подставим известное значение:
$$ \angle ACB = \frac{115^\circ}{2} = 57,5^\circ $$
Ответ: $57,5$
2.
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC = 80^\circ$, угол $CAD = 45^\circ$. Найдите угол $ACD$.
Решение:
- Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна $180^\circ$. Найдём угол $ADC$:
$$ \angle ADC = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ $$
- Рассмотрим треугольник $ACD$. Сумма всех внутренних углов треугольника равна $180^\circ$. Найдём искомый угол $ACD$:
$$ \angle ACD = 180^\circ - (\angle CAD + \angle ADC) $$
- Подставим данные из условия и первого шага:
$$ \angle ACD = 180^\circ - (45^\circ + 100^\circ) = 180^\circ - 145^\circ = 35^\circ $$
Ответ: $35^\circ$
3.
Дана прямоугольная трапеция $ABCD$ ($\angle A = \angle B = 90^\circ$), в которую вписана окружность радиусом $12$ см. Сторона $CD$ равна $38$ см. Найдите среднюю линию трапеции.
Решение:
- В прямоугольной трапеции высота равна диаметру вписанной окружности. Боковая сторона $AB$, перпендикулярная основаниям, и есть высота:
$$ AB = 2r = 2 \cdot 12 = 24 \text{ см} $$
- По свойству описанного четырёхугольника, суммы длин его противоположных сторон равны:
$$ AB + CD = BC + AD $$
- Найдём сумму оснований $BC + AD$:
$$ BC + AD = 24 + 38 = 62 \text{ см} $$
- Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований:
$$ m = \frac{BC + AD}{2} = \frac{62}{2} = 31 \text{ см} $$
Ответ: $31$ см