ГДЗ 17 Натуральное число обладает тремя свойствами. Во-первых, оно делится на 22. Во-вторых, оно больше, чем 4000. В...

17

Натуральное число обладает тремя свойствами. Во-первых, оно делится на 22. Во-вторых, оно больше, чем 4000. В-третьих, в этом числе третья цифра на 3 больше второй, а четвёртая цифра на 3 больше третьей. Найдите это число.

Решение:

Пусть искомое число — четырёхзначное и имеет вид $\overline{abcd}$.

1. Анализ условий для цифр: По условию третья цифра ($c$) на 3 больше второй ($b$), а четвёртая ($d$) на 3 больше третьей ($c$):

   $$ c = b + 3 $$
   $$ d = c + 3 = (b + 3) + 3 = b + 6 $$

   Так как $d$ — цифра, то $d \le 9$, следовательно, $b + 6 \le 9$, откуда $b \le 3$.

2. Делимость на 22: Число делится на 22, если оно одновременно делится на 2 и на 11.

   • Из делимости на 2 следует, что последняя цифра $d$ должна быть чётной ($0, 2, 4, 6, 8$).
   • Из делимости на 11 следует, что знакочередующаяся сумма цифр $(a - b + c - d)$ должна делиться на 11.

3. Перебор возможных значений: Рассмотрим чётные значения $d$, которые можно получить по формуле $d = b + 6$ при $b \in \{0, 1, 2, 3\}$:

   • Если $b = 0$, то $d = 6$ (чётно). Тогда $c = 3$. Число имеет вид $\overline{a036}$. Проверим делимость на 11: $(a + 3) - (0 + 6) = a - 3$. Чтобы разность делилась на 11, первая цифра $a$ должна быть равна 3. Получаем число 3036. Оно не подходит, так как по условию число должно быть больше 4000.
   • Если $b = 1$, то $d = 7$ (нечётно). Не подходит.
   • Если $b = 2$, то $d = 8$ (чётно). Тогда $c = 5$. Число имеет вид $\overline{a258}$. Проверим делимость на 11: $(a + 5) - (2 + 8) = a - 5$. Чтобы разность делилась на 11, $a$ должно быть равно 5. Получаем число 5258. Проверка: $5258 > 4000$, $5258 : 22 = 239$. Все условия выполнены.
   • Если $b = 3$, то $d = 9$ (нечётно). Не подходит.

Ответ: 5258