ГДЗ 8. Николай решил навестить свою бабушку в поселке Федосеевка. Расстояние от города Армавир, где проживает Николай...
8. Николай решил навестить свою бабушку в поселке Федосеевка. Расстояние от города Армавир, где проживает Николай, до поселка Федосеевка составляет 60 км. В путь он поехал на велосипеде. Погостив у бабушки один день, он поехал обратно домой, но со скоростью на 7 км/ч больше прежней. По дороге обратно он заехал к другу, у которого пробыл 7 часов. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из Армавира в Федосеевку. Найдите скорость велосипедиста на пути к бабушке. Ответ запишите в км/ч.
Решение: Пусть $x$ км/ч — скорость велосипедиста на пути к бабушке. Тогда скорость на обратном пути составила $(x + 7)$ км/ч.
- Время, затраченное на путь к бабушке: $t_1 = \frac{60}{x}$ ч.
- Время, затраченное на движение обратно: $t_{обр} = \frac{60}{x + 7}$ ч.
- Общее время на обратном пути с учетом остановки у друга (7 часов): $t_2 = \frac{60}{x + 7} + 7$ ч.
По условию задачи время туда и обратно одинаково ($t_1 = t_2$):
$$
\frac{60}{x} = \frac{60}{x + 7} + 7
$$
Перенесем дроби в одну сторону и приведем к общему знаменателю:
$$
\frac{60}{x} - \frac{60}{x + 7} = 7
$$
$$
\frac{60(x + 7) - 60x}{x(x + 7)} = 7
$$
$$
\frac{60x + 420 - 60x}{x^2 + 7x} = 7
$$
$$
\frac{420}{x^2 + 7x} = 7
$$
Разделим обе части уравнения на 7:
$$
\frac{60}{x^2 + 7x} = 1
$$
$$
x^2 + 7x = 60
$$
$$
x^2 + 7x - 60 = 0
$$
Найдем дискриминант:
$$
D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-60) = 49 + 240 = 289 = 17^2
$$
Корни уравнения:
$$
x_1 = \frac{-7 + 17}{2} = \frac{10}{2} = 5
$$
$$
x_2 = \frac{-7 - 17}{2} = -12 \text{ (не подходит по смыслу задачи)}
$$
Скорость велосипедиста на пути к бабушке равна 5 км/ч.
Ответ: 5
9. Каждый из двух рабочих одинаковой квалификации может выполнить заказ за 16 часов. Через 2 часа после того, как один из них приступил к выполнению заказа, к нему присоединился второй рабочий, и работу над заказом они довели до конца уже вместе. Сколько часов потребовалось на выполнение всего заказа?
Решение:
- Примем всю работу за 1. Тогда производительность одного рабочего составляет $P = \frac{1}{16}$ заказа в час.
- За первые 2 часа первый рабочий выполнил часть заказа:
$$ W_1 = 2 \cdot \frac{1}{16} = \frac{1}{8} $$
- Оставшаяся часть заказа:
$$ W_{ост} = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8} $$
- Когда присоединился второй рабочий, их общая производительность стала:
$$ P_{общ} = \frac{1}{16} + \frac{1}{16} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8} \text{ заказа в час} $$
- Время, затраченное на выполнение остатка работы вдвоем:
$$ t_{совм} = \frac{W_{ост}}{P_{общ}} = \frac{7/8}{1/8} = 7 \text{ часов} $$
- Общее время выполнения заказа:
$$ T = 2 + 7 = 9 \text{ часов} $$
Ответ: 9
10. Даша и Маша пропалывают грядку 12 минут, а одна Маша — за 20 минут. За сколько минут пропалывает грядку одна Даша?
Решение:
- Примем всю работу (прополку грядки) за 1.
- Совместная производительность Даши и Маши: $P_{Д+М} = \frac{1}{12}$ грядки в минуту.
- Производительность Маши: $P_М = \frac{1}{20}$ грядки в минуту.
- Найдем производительность Даши:
$$ P_Д = P_{Д+М} - P_М = \frac{1}{12} - \frac{1}{20} $$Приведем к общему знаменателю 60:$$ P_Д = \frac{5}{60} - \frac{3}{60} = \frac{2}{60} = \frac{1}{30} \text{ грядки в минуту} $$
- Время, за которое Даша одна пропалывает грядку:
$$ t_Д = \frac{1}{P_Д} = 1 : \frac{1}{30} = 30 \text{ минут} $$
Ответ: 30