ГДЗ 1.) Угол АОВ, равный 155°, лучом ОС разделен на два угла, градусные меры которых относятся как 3:2. Найдите эти у...
1.) Угол АОВ, равный 155°, лучом ОС разделен на два угла, градусные меры которых относятся как 3:2. Найдите эти углы.
Решение:
Пусть одна часть угла равна $x$. Тогда градусная мера первого угла равна $3x$, а второго — $2x$. Так как сумма этих углов равна $155^{\circ}$, составим уравнение:
$3x + 2x = 155^{\circ}$
$5x = 155^{\circ}$
$x = 31^{\circ}$
Первый угол: $3 \cdot 31^{\circ} = 93^{\circ}$.
Второй угол: $2 \cdot 31^{\circ} = 62^{\circ}$.
Ответ: $93^{\circ}$ и $62^{\circ}$.
2.) Луч ВМ делит развернутый угол АВС в отношении 4:2, считая от луча ВА. Найдите угол АВК, если ВК – биссектриса угла МВС.
Решение:
Развернутый угол равен $180^{\circ}$. Отношение $4:2$ означает, что угол АВМ и угол МВС делятся на $4+2=6$ частей.
Одна часть: $180^{\circ}: 6 = 30^{\circ}$.
Угол АВМ = $4 \cdot 30^{\circ} = 120^{\circ}$.
Угол МВС = $2 \cdot 30^{\circ} = 60^{\circ}$.
Так как ВК — биссектриса угла МВС, то угол МВК = угол КВС = $60^{\circ}: 2 = 30^{\circ}$.
Угол АВК = угол АВМ + угол МВК = $120^{\circ} + 30^{\circ} = 150^{\circ}$.
Ответ: $150^{\circ}$.
3.) Один из смежных углов на 35° больше другого. Найдите эти углы.
Решение:
Пусть меньший угол равен $x$, тогда больший угол равен $x + 35^{\circ}$. Сумма смежных углов равна $180^{\circ}$:
$x + (x + 35^{\circ}) = 180^{\circ}$
$2x = 145^{\circ}$
$x = 72,5^{\circ}$
Больший угол: $72,5^{\circ} + 35^{\circ} = 107,5^{\circ}$.
Ответ: $72,5^{\circ}$ и $107,5^{\circ}$.
4.) Разность двух смежных углов равна 42°. Найдите эти углы.
Решение:
Пусть углы равны $\alpha$ и $\beta$, где $\alpha > \beta$.
$\alpha + \beta = 180^{\circ}$
$\alpha - \beta = 42^{\circ}$
Сложим уравнения: $2\alpha = 222^{\circ} \Rightarrow \alpha = 111^{\circ}$.
$\beta = 180^{\circ} - 111^{\circ} = 69^{\circ}$.
Ответ: $111^{\circ}$ и $69^{\circ}$.
5.) Прямая ВК перпендикулярна прямым МВ и КТ. Докажите, что треугольники МВО и ОКТ равны. Найдите углы ОМВ, ВОМ, ОТК, если известно, что МВ=КТ, а угол ТОК=40°.
Решение:
- В треугольниках $\triangle MBO$ и $\triangle TKO$:
- $\angle MBO = \angle TKO = 90^{\circ}$ (по условию);
- $MB = KT$ (по условию);
- $\angle MOB = \angle TOK$ (вертикальные углы). Следовательно, $\triangle MBO = \triangle TKO$ по стороне и двум прилежащим к ней углам (или по катету и острому углу).
- Из равенства треугольников следует равенство соответствующих элементов:
- $\angle BOM = \angle TOK = 40^{\circ}$;
- $\angle OMB = \angle OTK = 90^{\circ} - 40^{\circ} = 50^{\circ}$.
Ответ: $\angle OMB = 50^{\circ}$, $\angle ВОМ = 40^{\circ}$, $\angle ОТК = 50^{\circ}$.