ГДЗ Задание 8 В четырёхугольнике ABCD провели диагональ BD. BE — биссектриса треугольника ABD. DF — биссектриса треуг...
Задание 8
В четырёхугольнике $ABCD$ провели диагональ $BD$. $BE$ — биссектриса треугольника $ABD$. $DF$ — биссектриса треугольника $BDC$. $BE \perp AD$, $DF \perp BC$. $BD = 7$, $ED = BF = 5$. Найдите периметр четырёхугольника $ABCD$.
Отрисовка SVG…
Решение
- Рассмотрим треугольник $ABD$:
- По условию $BE$ — биссектриса $\triangle ABD$ и $BE \perp AD$ (высота).
- Если в треугольнике биссектриса совпадает с высотой, то этот треугольник является равнобедренным с основанием, к которому проведена эта высота. Таким образом, $\triangle ABD$ — равнобедренный с основанием $AD$.
- Следовательно, боковые стороны равны:
$$ AB = BD = 7 $$
- В равнобедренном треугольнике высота также является медианой, то есть делит основание пополам:
$$ AE = ED = 5 $$
- Тогда длина стороны $AD$ равна:
$$ AD = AE + ED = 5 + 5 = 10 $$
- Рассмотрим треугольник $BDC$:
- По условию $DF$ — биссектриса $\triangle BDC$ и $DF \perp BC$ (высота).
- Так как биссектриса совпадает с высотой, то $\triangle BDC$ — равнобедренный с основанием $BC$.
- Боковые стороны равны:
$$ CD = BD = 7 $$
- Высота $DF$ также является медианой, поэтому:
$$ BF = FC = 5 $$
- Тогда длина стороны $BC$ равна:
$$ BC = BF + FC = 5 + 5 = 10 $$
- Найдём периметр четырёхугольника $ABCD$:
Периметр равен сумме длин всех его сторон:
$$ P = AB + BC + CD + AD $$$$ P = 7 + 10 + 7 + 10 = 34 $$
Ответ: 34