ГДЗ Задача 1 Условие: Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 38° , угол CAD равен 54° . Найдите уго...
Задача 1
Условие:
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABD$ равен $38^\circ$, угол $CAD$ равен $54^\circ$. Найдите угол $ABC$. Ответ дайте в градусах.
Отрисовка SVG…
Решение:
- Искомый угол $ABC$ состоит из двух углов:
$$ \angle ABC = \angle ABD + \angle DBC $$
- Нам уже известен угол $\angle ABD = 38^\circ$. Найдем угол $\angle DBC$.
- Вписанные углы $\angle DBC$ и $\angle CAD$ опираются на одну и ту же дугу $CD$. По свойству вписанных углов, опирающихся на одну дугу, они равны:
$$ \angle DBC = \angle CAD = 54^\circ $$
- Теперь найдем величину угла $ABC$:
$$ \angle ABC = \angle ABD + \angle DBC = 38^\circ + 54^\circ = 92^\circ $$
Ответ: $92$
Задача 2
Условие:
На окружности по разные стороны от диаметра $AB$ взяты точки $M$ и $N$. Известно, что $\angle NBA = 43^\circ$. Найдите угол $NMB$. Ответ дайте в градусах.
Отрисовка SVG…
Решение:
- Угол $ANB$ — вписанный угол, опирающийся на диаметр $AB$. Следовательно, он прямой:
$$ \angle ANB = 90^\circ $$
- Рассмотрим прямоугольный треугольник $ANB$. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$:
$$ \angle NAB = 90^\circ - \angle NBA = 90^\circ - 43^\circ = 47^\circ $$
- Вписанные углы $\angle NMB$ и $\angle NAB$ опираются на одну и ту же дугу $NB$. Следовательно, они равны:
$$ \angle NMB = \angle NAB = 47^\circ $$
Ответ: $47$
Задача 3
Условие:
В окружности с центром $O$ $AC$ и $BD$ — диаметры. Центральный угол $AOD$ равен $44^\circ$. Найдите вписанный угол $ACB$. Ответ дайте в градусах.
Отрисовка SVG…
Решение:
- Углы $\angle AOD$ и $\angle BOC$ являются вертикальными, так как образованы пересечением двух прямых (диаметров $AC$ и $BD$). Вертикальные углы равны:
$$ \angle BOC = \angle AOD = 44^\circ $$
- Рассмотрим треугольник $BOC$. Отрезки $OB$ и $OC$ являются радиусами окружности ($OB = OC = R$), поэтому треугольник $BOC$ — равнобедренный с основанием $BC$.
- В равнобедренном треугольнике углы при основании равны:
$$ \angle OBC = \angle ACB $$
- Сумма углов треугольника равна $180^\circ$. Найдем угол $ACB$:
$$ \angle ACB = \frac{180^\circ - \angle BOC}{2} = \frac{180^\circ - 44^\circ}{2} = \frac{136^\circ}{2} = 68^\circ $$
Ответ: $68$