ГДЗ 2.351. Определите скорость тела u, считая скорость v известной (см. рисунок). Нити нерастяжимы, рычаги жесткие. Р...

2.351. Определите скорость тела $u$, считая скорость $v$ известной (см. рисунок). Нити нерастяжимы, рычаги жесткие.

Решение

Рычаг на всех схемах разделен на 6 равных делений. Обозначим длину одного деления за $d$.

При анализе движения подвижных блоков будем использовать кинематическую связь: скорость оси подвижного блока равна полусумме скоростей ветвей нити, огибающей этот блок (в проекции на направление движения):

а)

1. Левый конец рычага соединен нитью, перекинутой через неподвижный блок, с телом, движущимся вниз со скоростью $v$. Следовательно, левый конец рычага движется вверх со скоростью:
   $$ v_1 = v $$
2. Опора делит рычаг на плечи $L_1 = 2d$ (слева) и $L_2 = 4d$ (справа).
3. Из подобия треугольников скоростей для рычага найдем скорость его правого конца $v_2$:
   $$ \frac{v_1}{L_1} = \frac{v_2}{L_2} \implies v_2 = v_1 \cdot \frac{L_2}{L_1} = v \cdot \frac{4d}{2d} = 2v $$
4. Правый конец рычага соединен нитью напрямую с телом, скорость которого равна $u$. Таким образом:
   $$ u = v_2 = 2v $$

Ответ для а: $u = 2v$

б)

1. Левый конец рычага движется вверх со скоростью $v_1 = v$.
2. Опора делит рычаг на плечи $L_1 = 4d$ (слева) и $L_2 = 2d$ (справа).
3. Скорость правого конца рычага $v_2$ равна:
   $$ v_2 = v_1 \cdot \frac{L_2}{L_1} = v \cdot \frac{2d}{4d} = 0.5v $$
4. Правый конец рычага соединен нитью напрямую с телом, скорость которого равна $u$:
   $$ u = v_2 = 0.5v $$

Ответ для б: $u = 0.5v$

в)

1. Левый конец рычага движется вверх со скоростью $v_1 = v$.
2. Опора делит рычаг на плечи $L_1 = 2d$ (слева) и $L_2 = 4d$ (справа).
3. Скорость правого конца рычага $v_2$ равна:
   $$ v_2 = v_1 \cdot \frac{L_2}{L_1} = v \cdot \frac{4d}{2d} = 2v $$
4. Нить идет от правого конца рычага, огибает подвижный блок снизу и закреплена на неподвижной опоре. К оси этого подвижного блока подвешено тело со скоростью $u$.
5. Скорость оси подвижного блока равна полусумме скоростей концов нити (один конец движется со скоростью правого конца рычага $v_2$, другой неподвижен):
   $$ u = \frac{v_2 + 0}{2} = \frac{2v}{2} = v $$

Ответ для в: $u = v$

г)

1. Правый конец рычага соединен напрямую с телом, движущимся вверх со скоростью $v$. Следовательно, правый конец рычага движется вверх со скоростью:
   $$ v_2 = v $$
2. Опора делит рычаг на плечи $L_1 = 4d$ (слева) и $L_2 = 2d$ (справа).
3. Скорость левого конца рычага $v_1$ равна:
   $$ v_1 = v_2 \cdot \frac{L_1}{L_2} = v \cdot \frac{4d}{2d} = 2v $$
4. Левый конец рычага соединен нитью, перекинутой через неподвижный блок, с телом со скоростью $u$:
   $$ u = v_1 = 2v $$

Ответ для г: $u = 2v$

д)

1. Левый конец рычага движется вверх со скоростью $v_1 = v$.
2. Опора делит рычаг на плечи $L_1 = 2d$ (слева) и $L_2 = 4d$ (справа).
3. Скорость правого конца рычага $v_2$ равна:
   $$ v_2 = v_1 \cdot \frac{L_2}{L_1} = v \cdot \frac{4d}{2d} = 2v $$
   Правый конец рычага движется вниз.
4. Нить от правого конца рычага идет к оси правого подвижного блока. Значит, скорость оси этого блока направлена вниз и равна:
   $$ v_{\text{оси1}} = v_2 = 2v $$
5. Через правый подвижный блок перекинута нить. Один ее конец соединен с телом, движущимся вниз со скоростью $v$. Другой конец соединен с осью левого подвижного блока. Направим координатную ось вертикально вниз:
   $$ v_{\text{оси1}} = \frac{v + v_{\text{оси2}}}{2} \implies 2v = \frac{v + v_{\text{оси2}}}{2} \implies v_{\text{оси2}} = 4v - v = 3v $$
   Ось левого блока движется вниз со скоростью $3v$.
6. Через левый подвижный блок перекинута нить, один конец которой закреплен неподвижно, а второй соединен с телом со скоростью $u$:
   $$ v_{\text{оси2}} = \frac{0 + u}{2} \implies 3v = \frac{u}{2} \implies u = 6v $$

Ответ для д: $u = 6v$

е)

1. Левый конец рычага движется вверх со скоростью $v_1 = v$.
2. Опора делит рычаг на плечи $L_1 = 4d$ (слева) и $L_2 = 2d$ (справа).
3. Скорость правого конца рычага $v_2$ равна:
   $$ v_2 = v_1 \cdot \frac{L_2}{L_1} = v \cdot \frac{2d}{4d} = 0.5v $$
   Правый конец рычага движется вниз.
4. Нить от правого конца рычага идет к оси правого подвижного блока. Скорость оси этого блока направлена вниз и равна:
   $$ v_{\text{оси1}} = v_2 = 0.5v $$
5. Через правый подвижный блок перекинута нить. Один ее конец соединен с телом, движущимся вниз со скоростью $v$. Другой конец соединен с осью левого подвижного блока. Направим координатную ось вертикально вниз:
   $$ v_{\text{оси1}} = \frac{v + v_{\text{оси2}}}{2} \implies 0.5v = \frac{v + v_{\text{оси2}}}{2} \implies v_{\text{оси2}} = v - v = 0 $$
   Ось левого блока неподвижна ($v_{\text{оси2}} = 0$).
6. Через левый подвижный блок перекинута нить, один конец которой закреплен неподвижно, а второй соединен с телом со скоростью $u$:
   $$ v_{\text{оси2}} = \frac{0 + u}{2} \implies 0 = \frac{u}{2} \implies u = 0 $$

Ответ для е: $u = 0$