ГДЗ 2. Выполнить упражнения. №1. По разложениям на простые множители чисел a и b найдите их наибольший общий делитель...

2. Выполнить упражнения.

№1. По разложениям на простые множители чисел a и b найдите их наибольший общий делитель:

Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) двух чисел, нужно перемножить все их общие простые множители, взятые в наименьшей степени, в которой они входят в оба разложения.

А) $a = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5$, $b = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7$

• Общие простые множители: $2$, $3$, $3$.
• $\text{НОД}(a, b) = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 18$

Б) $a = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5$, $b = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 11$

• Общие простые множители: $2$, $3$, $5$.
• $\text{НОД}(a, b) = 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$

В) $a = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5$, $b = 2 \cdot 5 \cdot 11$

• Общие простые множители: $2$, $5$.
• $\text{НОД}(a, b) = 2 \cdot 5 = 10$

Г) $a = 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7$, $b = 3 \cdot 7 \cdot 13$

• Общие простые множители: $3$, $7$.
• $\text{НОД}(a, b) = 3 \cdot 7 = 21$

Д) $a = 3 \cdot 5 \cdot 17 \cdot 19$, $b = 2 \cdot 2 \cdot 11 \cdot 13$

• Числа не имеют общих простых множителей, значит, они взаимно простые.
• $\text{НОД}(a, b) = 1$

Е) $a = 5 \cdot 7 \cdot 11$, $b = 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 11$

• Общие простые множители: $5$, $7$, $11$.
• $\text{НОД}(a, b) = 5 \cdot 7 \cdot 11 = 385$

Ответ:
А) $18$; Б) $30$; В) $10$; Г) $21$; Д) $1$; Е) $385$.

№2. Найдите НОД чисел

Разложим числа на простые множители и найдём их наибольший общий делитель:

А) $\text{НОД}(21, 35)$

• $21 = 3 \cdot 7$
• $35 = 5 \cdot 7$
• Общий множитель: $7$.
• $\text{НОД}(21, 35) = 7$

Б) $\text{НОД}(18, 54)$

• Так как число $54$ делится нацело на $18$ ($54 = 18 \cdot 3$), то их наибольшим общим делителем является само число $18$.
• $\text{НОД}(18, 54) = 18$

В) $\text{НОД}(68, 102)$

• $68 = 2 \cdot 34 = 2 \cdot 2 \cdot 17 = 2^2 \cdot 17$
• $102 = 2 \cdot 51 = 2 \cdot 3 \cdot 17$
• Общие простые множители: $2$ и $17$.
• $\text{НОД}(68, 102) = 2 \cdot 17 = 34$

Г) $\text{НОД}(660, 495)$

• $660 = 66 \cdot 10 = (2 \cdot 3 \cdot 11) \cdot (2 \cdot 5) = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 11$
• $495 = 5 \cdot 99 = 5 \cdot 9 \cdot 11 = 3^2 \cdot 5 \cdot 11$
• Общие простые множители: $3$, $5$, $11$.
• $\text{НОД}(660, 495) = 3 \cdot 5 \cdot 11 = 165$

Ответ:
А) $7$; Б) $18$; В) $34$; Г) $165$.