ГДЗ 4. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 5 см и 12 см. Найдите боковое ребро, учитывая, что диаг...

4. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 5 см и 12 см. Найдите боковое ребро, учитывая, что диагональ параллелепипеда равна $\sqrt{194}$ см:

а) 5 см; в) $3\sqrt{73}$ см; б) 25 см; г) $11\sqrt{3}$ см.

Решение

В прямоугольном параллелепипеде боковое ребро $h$ — высота.

Диагональ основания:

d^2 = 5^2+12^2 = 25+144 = 169, \quad d = 13 \text{ см}.

Диагональ параллелепипеда $D$ связана с $d$ и $h$ теоремой Пифагора:

$$ D^2 = d^2+h^2. $$

$$ h^2 = D^2-d^2 = 194-169 = 25, $$

h = 5 \text{ см}.

Ответ: а) $5$ см.

5. Сторона основания правильной треугольной пирамиды $DABC$ равна 16 см, боковое ребро — 10 см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

Решение

Основание — равносторонний треугольник со стороной $a=16$ см.

S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{256\sqrt{3}}{4}=64\sqrt{3} \text{ см}^2.

Боковая грань — равнобедренный треугольник со сторонами 10 см, 10 см, 16 см. Его высота-апофема:

m = \sqrt{10^2-8^2} = \sqrt{100-64}=6 \text{ см}.

Площадь одной грани:

S_1 = \frac12 \cdot 16 \cdot 6 = 48 \text{ см}^2.

S_{бок} = 3\cdot 48 = 144 \text{ см}^2.

S_{полн} = S_{бок}+S_{осн} = 144+64\sqrt{3} = 16(9+4\sqrt{3}) \text{ см}^2.

Ответ: $144+64\sqrt{3}$ см$^2$.

6. Диагональ основания правильной четырехугольной пирамиды равна боковому ребру пирамиды. Найдите длину бокового ребра, если площадь боковой поверхности пирамиды равна $4\sqrt{7}$ см$^2$.

Решение

Пусть сторона квадрата основания $a$, боковое ребро $L$.
По условию диагональ основания равна $L$:

a\sqrt{2} = L.

Апофема боковой грани — высота равнобедренного треугольника с основанием $a$ и боковыми $L$:

m = \sqrt{L^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{2a^2-\frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{7a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{7}}{2}.

Площадь боковой поверхности — 4 такие грани:

S_{бок} = 4\cdot \frac12 a m = 2a\cdot \frac{a\sqrt{7}}{2}=a^2\sqrt{7}.

a^2\sqrt{7}=4\sqrt{7}, \quad a^2=4, \quad a=2 \text{ см}.

L = a\sqrt{2} = 2\sqrt{2} \text{ см}.

Ответ: $2\sqrt{2}$ см.

7. Стороны основания прямого параллелепипеда равны 4 см и 6 см, угол между ними составляет 30°. Найдите диагональ большей боковой грани параллелепипеда, если площадь его полной поверхности равна 184 см$^2$.

Решение

Основание — параллелограмм.

S_{осн} = 4\cdot 6\cdot \sin 30^{\circ} = 24\cdot \frac12 = 12 \text{ см}^2.

Пусть высота параллелепипеда $H$.
Периметр основания $P = 2(4+6)=20$ см.

S_{полн} = 2S_{осн}+PH,

$$ 24+20H = 184, $$

20H = 160, \quad H = 8 \text{ см}.

Большая боковая грань — прямоугольник со сторонами 6 см и $H=8$ см. Ее диагональ:

d = \sqrt{6^2+8^2} = \sqrt{36+64}=10 \text{ см}.

Ответ: $10$ см.

8. Сторона основания правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ в 2 раза меньше бокового ребра. Найдите площадь полной поверхности призмы, если длина пространственной ломаной $AA_1CB_1BA$ равна $5+2\sqrt{5}$ см.

Решение

Пусть сторона основания $a$, боковое ребро $h=2a$.
Ломаная $A-A_1-C-B_1-B-A$ состоит из отрезков:

$AA_1 = h = 2a$,
$A_1C = \sqrt{AC^2+AA_1^2} = \sqrt{a^2+h^2} = \sqrt{5a^2}=a\sqrt{5}$,
$CB_1 = \sqrt{BC^2+BB_1^2} = a\sqrt{5}$,
$B_1B = h = 2a$,
$BA = a$. Сумма: $2a+a\sqrt{5}+a\sqrt{5}+2a+a = 5a+2a\sqrt{5}=a(5+2\sqrt{5}).$ По условию она равна $5+2\sqrt{5}$, откуда $a=1$ см, $h=2$ см. $S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{4}.$ $S_{полн} = 2S_{осн}+3ah = \frac{\sqrt{3}}{2}+6 = \frac{12+\sqrt{3}}{2} \text{ см}^2.$ Ответ: $6+\frac{\sqrt{3}}{2}$ см$^2$.

9. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ точки $E$ и $F$ — центры граней $ABB_1A_1$ и $B_1BCC_1$ соответственно. Найдите площадь поверхности многогранника, полученного после удаления из данного куба треугольной пирамиды $EB_1FB$, учитывая, что ребро куба равно 2 см.

Решение

Ребро $a=2$. Площадь поверхности куба $6a^2=24$ см$^2$.
Тетраэдр $B-B_1-E-F$ имеет две грани $BB_1E$ и $BB_1F$, лежащие в гранях куба.
Каждая — треугольник с основанием $BB_1=2$ и высотой 1 (расстояние от центра квадрата $2\times 2$ до его стороны):

S_{BB_1E}=S_{BB_1F}=\frac12\cdot 2\cdot 1 = 1.

При удалении эти площади уходят с поверхности, а открываются два внутренних треугольника $EBF$ и $EB_1F$.
В координатах: $B(0,0,0)$, $B_1(0,0,2)$, $E(0,1,1)$, $F(1,0,1)$ их площади равны $\frac{\sqrt{3}}{2}$ каждая.
Действительно, $|BE|=|BF|=\sqrt{2}$, $|EF|=\sqrt{2}$, треугольник $EBF$ равносторонний со стороной $\sqrt{2}$, его площадь $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Аналогично $EB_1F$.
Новая площадь:

S = 24 -1-1+\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} = 22+\sqrt{3} \text{ см}^2.

Ответ: $22+\sqrt{3}$ см$^2$.

10. В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ сторона квадрата $AA_1D_1D$ равна 6 см. Точка $T$ расположена в грани $AA_1D_1D$ на расстоянии 2 см от середины $AD$ и равноудалена от вершин $A$ и $D$. Точка $K$ расположена в грани $B_1BCC_1$ на расстоянии 2 см от середины $B_1C_1$ и на равных расстояниях от точек $B_1$ и $C_1$. Найдите длину кратчайшего пути по поверхности параллелепипеда между точками $T$ и $K$, учитывая, что $AB=2AA_1$.

Решение

$AA_1=AD=6$ см, $AB=12$ см.
Грани $AA_1D_1D$ и $B_1BCC_1$ — противоположные квадраты $6\times 6$ на расстоянии 12 см друг от друга.

Середина $AD$ — на нижнем ребре задней грани. Точка $T$ на ее серединном перпендикуляре в 2 см внутрь: на высоте 2 см от основания.
Середина $B_1C_1$ — на верхнем ребре передней грани. Точка $K$ на ее серединном перпендикуляре в 2 см внутрь: на 2 см ниже верха, т.е. на высоте 4 см от основания.

Развернем поверхности, соединяющие эти грани.
Через нижнее основание: $T$ в 2 см от ребра, $K$ в 4 см от ребра, между ребрами 12 см. В развертке расстояние:

\sqrt{(2+12+4)^2}=18 \text{ см}.

Этот путь реализуется как 2 см вниз по задней грани + 12 см по дну + 4 см вверх по передней грани.
Через верхнее основание: $(6-2)+(12)+(6-4)=4+12+2=18$ см.
Через боковые грани $ABB_1A_1$ или $DCC_1D_1$: в развертке смещение по $y$ на 3+3=6 см:

\sqrt{18^2+2^2}=\sqrt{328}>18.

Поэтому кратчайший равен 18 см.
Ответ: $18$ см.

Сообщить об ошибке