ГДЗ 1154. Найдите область определения функции: Решение Область определения функции D(y) — это множество всех значений...

1154. Найдите область определения функции:

Решение

Область определения функции $D(y)$ — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл (в частности, знаменатель дроби не должен быть равен нулю).

а) $y = 10x - 3$

Выражение является многочленом, оно имеет смысл при любых значениях переменной $x$.

D(y) = (-\infty; +\infty)

б) $y = \dfrac{1}{x - 5}$

Дробь определена, если её знаменатель отличен от нуля:

x - 5 \neq 0 \implies x \neq 5

D(y) = (-\infty; 5) \cup (5; +\infty)

в) $y = x^2 - 8x + 2$

Выражение является квадратичной функцией (многочленом), определено при любых значениях переменной $x$.

D(y) = (-\infty; +\infty)

г) $y = \dfrac{4}{x(x - 3)}$

Знаменатель дроби не должен быть равен нулю:

x(x - 3) \neq 0 \implies x \neq 0 \quad \text{и} \quad x \neq 3

D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; 3) \cup (3; +\infty)

д) $y = \dfrac{1}{x^2 - 1}$

Знаменатель дроби не должен быть равен нулю:

x^2 - 1 \neq 0 \implies x^2 \neq 1 \implies x \neq \pm 1

D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)

е) $y = \dfrac{1}{x^2 + 1}$

Знаменатель дроби не должен быть равен нулю:

x^2 + 1 \neq 0

Поскольку для любого действительного числа $x$ верно неравенство $x^2 \ge 0$, то $x^2 + 1 \ge 1 > 0$. Знаменатель никогда не обращается в ноль.

D(y) = (-\infty; +\infty)

Ответ:
а) $(-\infty; +\infty)$;
б) $(-\infty; 5) \cup (5; +\infty)$;
в) $(-\infty; +\infty)$;
г) $(-\infty; 0) \cup (0; 3) \cup (3; +\infty)$;
д) $(-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$;
е) $(-\infty; +\infty)$.

Сообщить об ошибке