ГДЗ 6. Решите задачу: В треугольнике ABC проведена медиана BM. MK ∥ BC и KN ∥ AC. Найдите периметр четырёхугольника A...

6. Решите задачу:

В треугольнике $ABC$ проведена медиана $BM$. $MK \parallel BC$ и $KN \parallel AC$. Найдите периметр четырёхугольника $AKNC$, если $KB = 7\text{ см}$, $BN = 6\text{ см}$, $MC = 8\text{ см}$.

Решение:

1. Так как $BM$ — медиана треугольника $ABC$, точка $M$ делит сторону $AC$ пополам:

   $$ AM = MC = 8\text{ см} $$

   Следовательно, вся сторона $AC$ равна:

   $$ AC = AM + MC = 8 + 8 = 16\text{ см} $$

2. Рассмотрим треугольник $ABC$. Прямая $MK$ параллельна стороне $BC$ ($MK \parallel BC$) и проходит через середину стороны $AC$ (точку $M$). По теореме Фалеса (или свойству средней линии треугольника) $MK$ является средней линией треугольника $ABC$ относительно стороны $BC$.
   Значит, точка $K$ — середина стороны $AB$:

   $$ AK = KB = 7\text{ см} $$

   Следовательно, вся сторона $AB = AK + KB = 7 + 7 = 14\text{ см}$.

3. В треугольнике $ABC$ прямая $KN$ параллельна стороне $AC$ ($KN \parallel AC$) и проходит через середину стороны $AB$ (точку $K$). По теореме о средней линии треугольника $KN$ — средняя линия треугольника $ABC$, параллельная $AC$:

• Точка $N$ является серединой стороны $BC$, следовательно:
  $$ NC = BN = 6\text{ см} $$
• Длина отрезка $KN$ равна половине основания $AC$:
  $$ KN = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8\text{ см} $$

4. Найдём периметр четырёхугольника $AKNC$:
   $$ P_{AKNC} = AK + KN + NC + AC $$
   Подставим найденные значения длин отрезков:
   $$ P_{AKNC} = 7 + 8 + 6 + 16 = 37\text{ см} $$

Ответ: $37\text{ см}$