ГДЗ 3. В треугольнике ABC провели медиану BM. Оказалось, что сумма углов A и C равна углу ABM. Найдите отношение меди...

3.

В треугольнике $ABC$ провели медиану $BM$. Оказалось, что сумма углов $A$ и $C$ равна углу $ABM$. Найдите отношение медианы $BM$ к стороне $BC$.

Решение

1. Пусть углы треугольника $ABC$ равны:

   $$ \angle A = \alpha, \quad \angle C = \gamma, \quad \angle B = \beta. $$

   По теореме о сумме углов треугольника:

   $$ \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ \implies \alpha + \gamma = 180^\circ - \beta. $$

2. По условию задачи:

   $$ \angle ABM = \alpha + \gamma. $$

   Тогда:

   $$ \angle ABM = 180^\circ - \beta. $$

3. С другой стороны, угол $\angle B$ складывается из двух углов:

   $$ \angle B = \angle ABM + \angle CBM. $$

   Подставим выражение для $\angle ABM$:

   $$ \beta = (180^\circ - \beta) + \angle CBM \implies \angle CBM = 2\beta - 180^\circ. $$

4. Продлим медиану $BM$ за точку $M$ на ее длину: отложим отрезок $MD = BM$. Соединим точку $D$ с вершинами $A$ и $C$.
   Так как диагонали четырехугольника $ABCD$ пересекаются в точке $M$ и делятся ею пополам ($AM = MC$ по условию, $BM = MD$ по построению), то $ABCD$ — параллелограмм.

5. В параллелограмме $ABCD$ противолежащие стороны равны и параллельны, а сумма соседних углов равна $180^\circ$:

• $CD = AB$, $AD = BC$;
• $\angle BCD = 180^\circ - \angle B = 180^\circ - \beta$;
• Прямые $AB$ и $CD$ параллельны, а $BD$ — секущая, следовательно, накрест лежащие углы равны:
  $$ \angle BDC = \angle ABM = 180^\circ - \beta. $$

6. Рассмотрим треугольник $BCD$:

• $\angle BCD = 180^\circ - \beta$;
• $\angle BDC = 180^\circ - \beta$.

Так как два угла равны ($\angle BCD = \angle BDC$), треугольник $BCD$ является равнобедренным с основанием $CD$.

7. Следовательно, его боковые стороны равны:

   $$ BD = BC. $$

8. Так как точка $M$ — середина отрезка $BD$, то $BD = 2BM$. Подставляя это равенство, получаем:

   $$ 2BM = BC \implies \frac{BM}{BC} = \frac{1}{2}. $$

Ответ: $1: 2$ (или $0{,}5$)