ГДЗ 315 Даны два набора чисел. Отметьте числа на числовой прямой. Определите на глаз, у какого из наборов рассеивание...

315 Даны два набора чисел. Отметьте числа на числовой прямой. Определите на глаз, у какого из наборов рассеивание значений больше. Проверьте ваш глазомер, вычислив и сравнив дисперсии наборов.

а) 2, 3, 4 и 6, 7, 8; б) 3, 5, 7, 9 и 12, 14, 16, 18.

Напомним: дисперсия набора $x_1, \dots, x_n$:

\bar{x}=\frac{x_1+\dots+x_n}{n}, \qquad D=\frac{(x_1-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2}{n}

Чем больше $D$, тем больше рассеивание значений вокруг среднего.

а) 2, 3, 4 и 6, 7, 8

На числовой прямой оба набора — по три соседних целых числа, только сдвинуты:

Отрисовка SVG…

На глаз ширина обоих облаков одинакова — по 2 единицы. Рассеивание одинаково.

Проверим:

1-й набор: $\bar{x}_1=\frac{2+3+4}{3}=3$

D_1=\frac{(2-3)^2+(3-3)^2+(4-3)^2}{3}=\frac{1+0+1}{3}=\frac{2}{3}

2-й набор: $\bar{x}_2=\frac{6+7+8}{3}=7$

D_2=\frac{(6-7)^2+(7-7)^2+(8-7)^2}{3}=\frac{1+0+1}{3}=\frac{2}{3}

$D_1=D_2$. Глазомер верен: рассеивание одинаково.

б) 3, 5, 7, 9 и 12, 14, 16, 18

Оба набора — арифметические прогрессии с шагом 2, по 4 точки:

Отрисовка SVG…

На глаз размах первого: $9-3=6$, второго: $18-12=6$. Расстояния между соседями одинаковы. Рассеивание выглядит одинаковым.

Проверим:

1-й набор: $\bar{x}_1=\frac{3+5+7+9}{4}=\frac{24}{4}=6$

D_1=\frac{(3-6)^2+(5-6)^2+(7-6)^2+(9-6)^2}{4}=\frac{9+1+1+9}{4}=\frac{20}{4}=5

2-й набор: $\bar{x}_2=\frac{12+14+16+18}{4}=\frac{60}{4}=15$

D_2=\frac{(12-15)^2+(14-15)^2+(16-15)^2+(18-15)^2}{4}=\frac{9+1+1+9}{4}=\frac{20}{4}=5

$D_1=D_2=5$. Глазомер верен: рассеивание одинаково.

Сдвиг всего набора на одно и то же число не меняет дисперсию.

Ответ: а) $D_1=D_2=\frac{2}{3}$, рассеивание одинаково; б) $D_1=D_2=5$, рассеивание одинаково.