ГДЗ 95 Уравнение прямой — конспект для 9 класса 1. Что такое уравнение линии Уравнение с двумя переменными x и y назы...

95 Уравнение прямой — конспект для 9 класса

1. Что такое уравнение линии

Уравнение с двумя переменными $x$ и $y$ называется уравнением линии $l$, если:

• координаты любой точки $M(x; y)$, лежащей на $l$, ему удовлетворяют;
• координаты любой точки, не лежащей на $l$, ему не удовлетворяют.

2. Общее уравнение прямой

Любая прямая в прямоугольной системе координат задаётся уравнением первой степени:

где $a$ и $b$ не равны нулю одновременно.

Как получается:

1. Берём две точки $A(x_1; y_1)$ и $B(x_2; y_2)$.
2. Пусть $l$ — серединный перпендикуляр к отрезку $AB$.
3. Для точки $M(x; y)$ на $l$: $AM = BM$, то есть $AM^2 = BM^2$:
   $$ (x-x_1)^2+(y-y_1)^2 = (x-x_2)^2+(y-y_2)^2 \quad (2) $$
4. Раскрываем скобки и приводим подобные — получаем вид (3):
   $$ ax+by+c=0 $$
   где $a=2(x_1-x_2)$, $b=2(y_1-y_2)$, $c=x_2^2+y_2^2-x_1^2-y_1^2$. Так как $A e B$, то $a$ или $b$ отлично от нуля.

Вывод: прямая — это линия первой степени.

3. Уравнение с угловым коэффициентом

Если $b e 0, то из (3) можно выразить y$:

где $k = -\dfrac{a}{b}$, $d = -\dfrac{c}{b}$.

• $k$ — угловой коэффициент прямой.
• Прямые, не параллельные оси $Oy$, имеют одинаковые $k$ тогда и только тогда, когда они параллельны.

4. Особые случаи

• Прямая, параллельная $Oy$:
  $$ x = x_0 $$
  Абсцисса любой точки равна $x_0$. Пример на рис. 287, б: прямая $l$ через $M_0(x_0; y_0)$.
• Ось $Oy$:
  $$ x = 0 $$
• Ось $Ox$:
  $$ y = 0 $$

5. Запомнить главное

1. $ax+by+c=0$ — любая прямая.
2. $y=kx+d$ — прямая с угловым коэффициентом $k$, не параллельная $Oy$.
3. $x=x_0$ — прямая, параллельная $Oy$.
4. Одинаковый $k$ $\Rightarrow$ прямые параллельны.