ГДЗ 95 В офисе туристической фирмы работают сотрудники, каждый из которых знает хотя бы один иностранный язык. 6 чело...

95

В офисе туристической фирмы работают сотрудники, каждый из которых знает хотя бы один иностранный язык. 6 человек знают английский, 6 — немецкий, 7 — французский, 4 знают английский и немецкий языки, 3 — немецкий и французский, 2 — французский и английский. Все три языка знает один сотрудник. Сколько человек работают в офисе туристической фирмы? Сколько человек из них знают только английский язык?

Решение

Обозначим множества сотрудников, знающих языки:

• $A$ — знают английский язык: $|A| = 6$;
• $H$ — знают немецкий язык: $|H| = 6$;
• $F$ — знают французский язык: $|F| = 7$.

По условию:

• знают английский и немецкий: $|A \cap H| = 4$;
• знают немецкий и французский: $|H \cap F| = 3$;
• знают французский и английский: $|A \cap F| = 2$;
• знают все три языка: $|A \cap H \cap F| = 1$.

1. Найдём общее количество сотрудников в фирме, используя формулу включений и исключений для трёх множеств:
   $$ |A \cup H \cup F| = |A| + |H| + |F| - |A \cap H| - |H \cap F| - |A \cap F| + |A \cap H \cap F| $$

Таким образом, в офисе работает 11 человек.

2. Найдём, сколько сотрудников знают только английский язык. Из общего числа сотрудников, знающих английский ($|A| = 6$), вычтем тех, кто знает также немецкий или французский:

• знают только английский и немецкий: $|A \cap H| - |A \cap H \cap F| = 4 - 1 = 3$;
• знают только английский и французский: $|A \cap F| - |A \cap H \cap F| = 2 - 1 = 1$;
• знают все три языка: $1$.

Число сотрудников, знающих только английский язык:

Ответ: 11 человек; 1 человек.

96

Староста одной группы института подал в деканат следующие сведения о студентах: «В группе учатся 45 студентов, из которых 25 юношей. 30 студентов учатся на оценки «хорошо» и «отлично», в том числе 16 юношей. 28 студентов занимаются спортом, в том числе 18 юношей и 17 студентов, учащихся на оценки «хорошо» и «отлично». 15 юношей учатся на «хорошо» и «отлично» и при этом занимаются спортом». В предоставленных данных была найдена ошибка. В чём она состоит?

Решение

Рассмотрим подмножество юношей этой группы. Пусть среди юношей:

• общее количество юношей: $N_Ю = 25$;
• множество юношей, учащихся на «хорошо» и «отлично» (хорошистов), обозначим $У_Ю$, тогда $|У_Ю| = 16$;
• множество юношей, занимающихся спортом (спортсменов), обозначим $С_Ю$, тогда $|С_Ю| = 18$;
• множество юношей, которые одновременно являются хорошистами и занимаются спортом, обозначим $У_Ю \cap С_Ю$, тогда $|У_Ю \cap С_Ю| = 15$.

По формуле включений и исключений найдём количество юношей, которые учатся на «хорошо» и «отлично» или занимаются спортом (или и то, и другое):

Это число не превышает общее число юношей ($19 \le 25$), здесь противоречия нет.

Теперь рассмотрим данные по всем студентам группы в целом. Пусть:

• $S$ — все студенты группы: $|S| = 45$;
• $У$ — студенты, учащиеся на «хорошо» и «отлично»: $|У| = 30$;
• $С$ — студенты, занимающиеся спортом: $|С| = 28$;
• по условию, среди 28 спортсменов 17 учатся на «хорошо» и «отлично», то есть $|У \cap С| = 17$.

Найдём общее число студентов, которые либо учатся на «хорошо» и «отлично», либо занимаются спортом:

Здесь тоже нет противоречия.

Теперь сопоставим данные для девушек (студентов, не являющихся юношами):

1. Всего девушек в группе: $45 - 25 = 20$.
2. Девушек-хорошисток: $|У| - |У_Ю| = 30 - 16 = 14$.
3. Девушек-спортсменок: $|С| - |С_Ю| = 28 - 18 = 10$.
4. Девушек, которые одновременно хорошистки и спортсменки:
   $$ |(У \cap С)_{\text{девушки}}| = |У \cap С| - |У_Ю \cap С_Ю| = 17 - 15 = 2 $$
5. Количество девушек, которые либо учатся на «хорошо» и «отлично», либо занимаются спортом:
   $$ 14 + 10 - 2 = 22 $$
   Однако всего девушек в группе только $20$, а получилось $22$, чего быть не может ($22 > 20$).

Ответ: Количество девушек, которые занимаются спортом или учатся на «хорошо» и «отлично», равно $22$, что превышает общее число девушек в группе ($45 - 25 = 20$).