ГДЗ 5. Подъемный кран поднимает груз из состояния покоя с постоянным ускорением a = 0,1 м/с2. Как относятся пути, про...
5. Подъемный кран поднимает груз из состояния покоя с постоянным ускорением $a = 0,1\text{ м/с}^2$. Как относятся пути, проходимые грузом за 1, 2, 3 и 4-ю секунды движения? Подтвердите ответ графиком зависимости модуля скорости движения груза от времени.
Решение
При прямолинейном равноускоренном движении из состояния покоя ($v_0 = 0$) путь, пройденный за время $t$, определяется формулой:
$$
s(t) = \frac{a t^2}{2}
$$
Путь, пройденный за $n$-ю секунду (от момента времени $t_{n-1} = n - 1$ до $t_n = n$), равен разности перемещений за $n$ секунд и за $n-1$ секунд:
$$
s_n = s(n) - s(n-1) = \frac{a n^2}{2} - \frac{a (n-1)^2}{2} = \frac{a}{2} (n^2 - (n^2 - 2n + 1)) = \frac{a}{2} (2n - 1)
$$
Найдем пути за каждую из первых четырех секунд:
- за 1-ю секунду ($n = 1$):
$$ s_1 = \frac{a}{2} (2 \cdot 1 - 1) = 1 \cdot \frac{a}{2} $$
- за 2-ю секунду ($n = 2$):
$$ s_2 = \frac{a}{2} (2 \cdot 2 - 1) = 3 \cdot \frac{a}{2} $$
- за 3-ю секунду ($n = 3$):
$$ s_3 = \frac{a}{2} (2 \cdot 3 - 1) = 5 \cdot \frac{a}{2} $$
- за 4-ю секунду ($n = 4$):
$$ s_4 = \frac{a}{2} (2 \cdot 4 - 1) = 7 \cdot \frac{a}{2} $$
Таким образом, отношение пройденных путей равно отношению последовательных нечетных чисел:
$$
s_1: s_2: s_3: s_4 = 1: 3: 5: 7
$$
Это соотношение является общим свойством равноускоренного движения из состояния покоя и не зависит от численного значения ускорения $a$.
Графическое подтверждение
Зависимость модуля скорости от времени имеет вид:
$$
v(t) = a t = 0,1 t
$$
Геометрический смысл пути на графике зависимости скорости от времени $v(t)$ — это площадь под графиком.
- За первую секунду фигура под графиком — треугольник площадью $S_1 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot (0,1) = 0,05$ (соответствует $1$ условной единице площади треугольника).
- За вторую секунду — трапеция, которую можно разбить на 3 таких же треугольника, площадь равна $3 \cdot S_1$.
- За третью секунду — трапеция, состоящая из 5 таких треугольников, площадь равна $5 \cdot S_1$.
- За четвертую секунду — трапеция, состоящая из 7 таких треугольников, площадь равна $7 \cdot S_1$.
Отрисовка SVG…
Ответ: $s_1: s_2: s_3: s_4 = 1: 3: 5: 7$