ГДЗ 6. Кинематический закон движения брошенного вверх мяча во время игры детей на площадке имеет вид y = At - Bt2, гд...

6. Кинематический закон движения брошенного вверх мяча во время игры детей на площадке имеет вид $y = At - Bt^2$, где $A = 15{,}0\text{ м/с}$, $B = 5{,}0\text{ м/с}^2$. Определите путь, модуль перемещения и координату мяча к моментам времени $t_1 = 1{,}0\text{ с}$, $t_2 = 2{,}0\text{ с}$ и $t_3 = 3{,}0\text{ с}$ от начала движения. Постройте графики зависимости от времени проекций ускорения и скорости, координаты мяча, модуля перемещения и пути.

Решение:

Закон движения мяча вдоль вертикальной оси $Oy$:

1. Проекция скорости и ускорения на ось $Oy$:

   $$ v_y(t) = y'(t) = A - 2Bt = 15 - 10t $$
   $$ a_y(t) = v_y'(t) = -2B = -10\text{ м/с}^2 $$

2. Характер движения:
   В начальный момент времени $t = 0$: $y(0) = 0\text{ м}$, $v_y(0) = 15\text{ м/с}$.
   Мяч поднимается до верхней точки траектории, где его скорость обращается в ноль:

   $$ v_y(t_{\text{в}}) = 15 - 10t_{\text{в}} = 0 \implies t_{\text{в}} = 1{,}5\text{ с} $$

   Максимальная высота подъема (координата вершины):

   $$ y_{\max} = y(1{,}5) = 15 \cdot 1{,}5 - 5 \cdot (1{,}5)^2 = 22{,}5 - 11{,}25 = 11{,}25\text{ м} $$

   После момента $t_{\text{в}} = 1{,}5\text{ с}$ мяч начинает падать вниз.

3. Координата, перемещение и путь:

• Поскольку начальная координата $y_0 = 0$, координата мяча равна проекции перемещения: $y(t) = \Delta r_y(t)$.
• Модуль перемещения равен: $|\Delta r(t)| = |y(t)| = |15t - 5t^2|$.
• Путь $s(t)$:
• при $0 \le t \le 1{,}5\text{ с}$ (движение вверх без смены направления):
  $$ s(t) = y(t) = 15t - 5t^2 $$
• при $t > 1{,}5\text{ с}$ (движение вниз):
  $$ s(t) = y_{\max} + (y_{\max} - y(t)) = 2y_{\max} - y(t) = 22{,}5 - (15t - 5t^2) = 5t^2 - 15t + 22{,}5 $$

4. Расчет величин для заданных моментов времени:

• Для момента времени $t_1 = 1{,}0\text{ с}$:

• Координата:

  $$ y_1 = y(1{,}0) = 15 \cdot 1{,}0 - 5 \cdot (1{,}0)^2 = 10{,}0\text{ м} $$

• Модуль перемещения:

  $$ \Delta r_1 = |y_1| = 10{,}0\text{ м} $$

• Путь ($t_1 \le 1{,}5\text{ с}$):

  $$ s_1 = y_1 = 10{,}0\text{ м} $$

• Для момента времени $t_2 = 2{,}0\text{ с}$:

• Координата:

  $$ y_2 = y(2{,}0) = 15 \cdot 2{,}0 - 5 \cdot (2{,}0)^2 = 30 - 20 = 10{,}0\text{ м} $$

• Модуль перемещения:

  $$ \Delta r_2 = |y_2| = 10{,}0\text{ м} $$

• Путь ($t_2 > 1{,}5\text{ с}$):

  $$ s_2 = 2y_{\max} - y_2 = 22{,}5 - 10{,}0 = 12{,}5\text{ м} $$

• Для момента времени $t_3 = 3{,}0\text{ с}$:

• Координата:

  $$ y_3 = y(3{,}0) = 15 \cdot 3{,}0 - 5 \cdot (3{,}0)^2 = 45 - 45 = 0\text{ м} $$

• Модуль перемещения:

  $$ \Delta r_3 = |y_3| = 0\text{ м} $$

• Путь:

  $$ s_3 = 2y_{\max} - y_3 = 22{,}5 - 0 = 22{,}5\text{ м} $$

Графики зависимостей кинематических величин от времени ($t \in [0; 3{,}0\text{ с}]$)

Ответ:

• при $t_1 = 1{,}0\text{ с}$: $s_1 = 10{,}0\text{ м}$, $\Delta r_1 = 10{,}0\text{ м}$, $y_1 = 10{,}0\text{ м}$;
• при $t_2 = 2{,}0\text{ с}$: $s_2 = 12{,}5\text{ м}$, $\Delta r_2 = 10{,}0\text{ м}$, $y_2 = 10{,}0\text{ м}$;
• при $t_3 = 3{,}0\text{ с}$: $s_3 = 22{,}5\text{ м}$, $\Delta r_3 = 0\text{ м}$, $y_3 = 0\text{ м}$.