ГДЗ 5. Биссектриса угла A прямоугольника ABCD делит сторону BC на части 2 см и 6 см. Найти периметр прямоугольника. Р...

5. Биссектриса угла $A$ прямоугольника $ABCD$ делит сторону $BC$ на части $2\text{ см}$ и $6\text{ см}$. Найти периметр прямоугольника.

Решение

Пусть биссектриса угла $A$ пересекает сторону $BC$ в точке $K$.

1. Так как $ABCD$ — прямоугольник, его угол $\angle A = 90^\circ$. Биссектриса $AK$ делит угол $A$ пополам:

   $$ \angle BAK = \angle KAD = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ $$

2. Прямые $BC$ и $AD$ параллельны ($BC \parallel AD$). Углы $\angle BKA$ и $\angle KAD$ являются накрест лежащими при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AK$, следовательно:

   $$ \angle BKA = \angle KAD = 45^\circ $$

3. В треугольнике $ABK$:

   $$ \angle BAK = 45^\circ, \quad \angle BKA = 45^\circ $$

   Значит, треугольник $ABK$ — равнобедренный с основанием $AK$, откуда следует:

   $$ AB = BK $$

4. Длина стороны $BC$ равна сумме двух отрезков, на которые её делит точка $K$:

   $$ BC = 2 + 6 = 8\text{ см} $$

5. Так как в условии не указан порядок отрезков, возможны два случая:

• Случай 1: Точка $K$ делит сторону $BC$, считая от вершины $B$, так, что $BK = 2\text{ см}$, а $KC = 6\text{ см}$.
  Тогда сторона $AB = BK = 2\text{ см}$.
  Периметр прямоугольника равен:

  $$ P = 2 \cdot (AB + BC) = 2 \cdot (2 + 8) = 2 \cdot 10 = 20\text{ см} $$

• Случай 2: Точка $K$ делит сторону $BC$, считая от вершины $B$, так, что $BK = 6\text{ см}$, а $KC = 2\text{ см}$.
  Тогда сторона $AB = BK = 6\text{ см}$.
  Периметр прямоугольника равен:

  $$ P = 2 \cdot (AB + BC) = 2 \cdot (6 + 8) = 2 \cdot 14 = 28\text{ см} $$

Ответ: $20\text{ см}$ или $28\text{ см}$