ГДЗ 33. Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке O. Найдите угол ABD, если он на 30° больше угла COD. Решен...

33.

Диагонали прямоугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Найдите угол $ABD$, если он на $30^\circ$ больше угла $COD$.

Решение

1. Пусть градусная мера угла $\angle COD = x$. Тогда по условию задачи:

   $$ \angle ABD = x + 30^\circ $$

2. Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, поэтому отрезки $AO$, $BO$, $CO$ и $DO$ равны между собой:

   $$ AO = BO = CO = DO $$

3. Рассмотрим треугольник $AOB$. Так как $AO = BO$, треугольник $AOB$ — равнобедренный с основанием $AB$. Следовательно, углы при его основании равны:

   $$ \angle OAB = \angle OBA = \angle ABD = x + 30^\circ $$

4. Углы $\angle AOB$ и $\angle COD$ являются вертикальными при пересечении диагоналей $AC$ и $BD$, поэтому они равны:

   $$ \angle AOB = \angle COD = x $$

5. Сумма углов в треугольнике $AOB$ равна $180^\circ$:

   $$ \angle AOB + \angle OAB + \angle OBA = 180^\circ $$
   $$ x + (x + 30^\circ) + (x + 30^\circ) = 180^\circ $$
   $$ 3x + 60^\circ = 180^\circ $$
   $$ 3x = 120^\circ $$
   $$ x = 40^\circ $$

6. Найдём угол $ABD$:

   $$ \angle ABD = x + 30^\circ = 40^\circ + 30^\circ = 70^\circ $$

Ответ: $70^\circ$