ГДЗ 46. Условие: Высота ромба, проведённая из вершины его тупого угла, делит сторону ромба пополам. Найдите сторону р...

46.

Условие:
Высота ромба, проведённая из вершины его тупого угла, делит сторону ромба пополам. Найдите сторону ромба, если его меньшая диагональ равна $16\text{ см}$.

Решение:

1. Пусть дан ромб $ABCD$, в котором $\angle B$ — тупой угол, а $AB = BC = CD = DA = a$.
2. Из вершины тупого угла $B$ проведем высоту $BH$ к стороне $AD$. По условию точка $H$ делит сторону $AD$ пополам, то есть $AH = HD = \frac{a}{2}$.
3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$ ($\angle AHB = 90^\circ$):
   $$ \cos(\angle A) = \frac{AH}{AB} = \frac{\frac{a}{2}}{a} = \frac{1}{2} $$
   Отсюда острый угол ромба равен:
   $$ \angle A = 60^\circ $$
4. Меньшая диагональ ромба соединяет вершины его тупых углов и лежит напротив острого угла, то есть это диагональ $BD = 16\text{ см}$.
5. Рассмотрим треугольник $ABD$:

• Стороны $AB$ и $AD$ равны как стороны ромба ($AB = AD$), следовательно, треугольник $ABD$ — равнобедренный с основанием $BD$.
• Так как угол при вершине $\angle A = 60^\circ$, то углы при основании равны:
  $$ \angle ABD = \angle ADB = \frac{180^\circ - 60^\circ}{2} = 60^\circ $$
• Все углы треугольника равны по $60^\circ$, значит, треугольник $ABD$ — равносторонний.

6. В равностороннем треугольнике все стороны равны:
   $$ AB = AD = BD = 16\text{ см} $$

Таким образом, сторона ромба равна $16\text{ см}$.

Ответ: $16\text{ см}$