ГДЗ 631. В правильной треугольной призме ABCA1B_1C1 проведены диагональ AB1 и биссектриса угла AB1C_1 до пересечения...
631.
В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ проведены диагональ $AB_1$ и биссектриса угла $AB_1C_1$ до пересечения с плоскостью основания в точке $D$; $AB=5$, $AA_1=12$. Определите расстояние $AD$.
Решение
Боковые грани правильной призмы — прямоугольники. Поэтому в прямоугольном треугольнике $ABB_1$:
$$
AB_1=\sqrt{AB^2+BB_1^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13.
$$
Обозначим через $E$ точку пересечения биссектрисы угла $AB_1C_1$ со стороной $AC_1$. По свойству биссектрисы:
$$
\frac{AE}{EC_1}=\frac{AB_1}{B_1C_1}=\frac{13}{5}.
$$
Плоскость треугольника $AB_1C_1$ пересекает плоскость нижнего основания по прямой $AD$. Поскольку плоскости оснований параллельны, $AD\parallel B_1C_1$.
Треугольники $AED$ и $C_1EB_1$ подобны: углы при $E$ вертикальные, а остальные соответствующие углы равны благодаря параллельности $AD$ и $B_1C_1$. Следовательно,
$$
\frac{AD}{B_1C_1}=\frac{AE}{EC_1}=\frac{13}{5}.
$$
Отсюда
$$
AD=5\cdot\frac{13}{5}=13.
$$
Ответ: 13.