ГДЗ 409 Докажите, что ромб, у которого один угол прямой, является квадратом. Доказательство 1. Пусть дан ромб ABCD, у...

409

Докажите, что ромб, у которого один угол прямой, является квадратом.

Доказательство

1. Пусть дан ромб $ABCD$, у которого один из углов прямой, например, $\angle A = 90^\circ$.
2. По определению ромб является параллелограммом, у которого все стороны равны:
   $$ AB = BC = CD = DA $$
3. В параллелограмме противоположные углы равны, а сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$:

• Так как противоположные углы равны, то $\angle C = \angle A = 90^\circ$.
• Так как сумма углов, прилежащих к стороне $AB$, равна $180^\circ$, то:
  $$ \angle B = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ $$
• Противоположный углу $B$ угол $D$ также равен $90^\circ$:
  $$ \angle D = \angle B = 90^\circ $$

4. Таким образом, у ромба $ABCD$ все углы прямые:
   $$ \angle A = \angle B = \angle C = \angle D = 90^\circ $$
5. Параллелограмм (или ромб), у которого все углы прямые, является прямоугольником. А прямоугольник, у которого все стороны равны (так как это ромб), по определению является квадратом.

Что и требовалось доказать.