ГДЗ ДЗ по алгебре 9АЕ класс 1. Решите неравенство (2-x)(x2+2x-8) geqslant 0. Разложим квадратный трёхчлен на множител...

ДЗ по алгебре 9АЕ класс

1. Решите неравенство $(2-x)(x^2+2x-8)\geqslant 0$.

Разложим квадратный трёхчлен на множители:

$$ x^2+2x-8=(x+4)(x-2). $$

Так как $2-x=-(x-2)$, получаем:

-(x-2)^2(x+4)\geqslant 0,

(x-2)^2(x+4)\leqslant 0.

При $x=2$ произведение равно нулю, поэтому это число подходит. При $x
e 2$ множитель $(x-2)^2 положителен, следовательно, необходимо x+4\leqslant 0$, то есть $x\leqslant -4$.

Ответ: $x\in(-\infty;-4]\cup\{2\}$.

2. Решите неравенство $\dfrac{1}{x}\geqslant\dfrac{1}{x-7}$.

Область допустимых значений: $x
e 0$, $x
e 7$.

Перенесём дроби в левую часть и приведём к общему знаменателю:

\frac{1}{x}-\frac{1}{x-7}\geqslant 0,

\frac{x-7-x}{x(x-7)}\geqslant 0,

\frac{-7}{x(x-7)}\geqslant 0.

Числитель отрицателен и не равен нулю, поэтому дробь неотрицательна только при отрицательном знаменателе:

$$ x(x-7)<0. $$

Множители имеют разные знаки при $0<x<7$.

Ответ: $x\in(0;7)$.

3. Решите уравнение $(x^2-25)^2+(x^2+2x-15)^2=0$.

Каждое слагаемое неотрицательно. Их сумма равна нулю, только если оба слагаемых равны нулю:

\begin{cases} x^2-25=0,\\ x^2+2x-15=0. \end{cases}

Разложим выражения на множители:

\begin{cases} (x-5)(x+5)=0,\\ (x+5)(x-3)=0. \end{cases}

Первое уравнение имеет корни $-5$ и $5$, второе — $-5$ и $3$. Общий корень — $-5$.

Ответ: $x=-5$.

4. Решите уравнение $-4x^2-7x+12=(x-2)^2$.

Раскроем скобки и перенесём все слагаемые в одну часть:

$$ -4x^2-7x+12=x^2-4x+4, $$

$$ 5x^2+3x-8=0. $$

Разложим левую часть на множители:

$$ (x-1)(5x+8)=0. $$

Отсюда:

x-1=0\quad\text{или}\quad 5x+8=0,

x=1\quad\text{или}\quad x=-\frac85.

Ответ: $x=-\dfrac85$; $x=1$.

5. Решите неравенство $(x-2)^2<\sqrt{3}(x-2)$.

Перенесём правую часть в левую и вынесем общий множитель:

(x-2)^2-\sqrt{3}(x-2)<0,

(x-2)(x-2-\sqrt{3})<0.

Нули множителей: $x=2$ и $x=2+\sqrt{3}$. Произведение отрицательно между этими числами. Границы не включаем, поскольку неравенство строгое.

Ответ: $x\in(2;2+\sqrt{3})$.

6. Решите неравенство $(x-1)(3x-5)<1$.

Раскроем скобки:

$$ 3x^2-8x+5<1, $$

$$ 3x^2-8x+4<0. $$

Разложим на множители:

$$ (3x-2)(x-2)<0. $$

Нули множителей: $x=\dfrac23$ и $x=2$. Произведение отрицательно между ними.

Ответ: $x\in\left(\dfrac23;2\right)$.

7. Решите неравенство $(3x-2)(x+4)>-11$.

Раскроем скобки и перенесём все слагаемые в левую часть:

$$ 3x^2+10x-8>-11, $$

$$ 3x^2+10x+3>0. $$

Разложим на множители:

$$ (3x+1)(x+3)>0. $$

Нули множителей: $x=-3$ и $x=-\dfrac13$. Произведение положительно при $x<-3$ или $x>-\dfrac13$.

Ответ: $x\in(-\infty;-3)\cup\left(-\dfrac13;+\infty\right)$.

8. Решите неравенство $(x^2+2x-8)(x^2-9x+14)\geqslant 0$.

Разложим оба трёхчлена на множители:

$$ x^2+2x-8=(x+4)(x-2), $$

$$ x^2-9x+14=(x-2)(x-7). $$

Получаем:

(x-2)^2(x+4)(x-7)\geqslant 0.

При $x=2$ произведение равно нулю, поэтому это число подходит. При $x
e 2$ множитель $(x-2)^2$ положителен, и остаётся решить:

(x+4)(x-7)\geqslant 0.

Произведение неотрицательно при $x\leqslant -4$ или $x\geqslant 7$. Добавляем значение $x=2$.

Ответ: $x\in(-\infty;-4]\cup\{2\}\cup[7;+\infty)$.

Сообщить об ошибке